§ 4.8. Частотные методы оценки качества регулирования

Частотные методы исследования систем управления широко используют в инженерной практике. Они основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик системы, поэтому нашли применение при расчетах систем автоматического управления и позволили разработать ряд удобных инженерных методов анализа и синтеза систем автоматического регулирования. В СССР большую роль в пропаганде и развитии частотных методов сыграли работы В. В. Солодовникова. В них приведены метод оценки качества по вещественным частотным характеристикам, метод построения переходных процессов по вещественным трапецеидальным характеристикам при ступенчатых воздействиях, а также метод синтеза корректирующих устройств. В работах была доказана возможность применения частотных методов к различным системам с распределенными параметрами и с запаздыванием. Применение этих методов позволяет определить такие важные показатели качества, как быстродействие, перерегулирование, колебательность процесса. Эти вопросы хорошо освещены в литературе, и имеется большое количество вспомогательных таблиц и графиков, что в значительной степени упростило инженерные расчеты.

Прежде всего остановимся на аналитической зависимости между переходной характеристикой и частотными характеристиками системы. Если на линейную систему воздействует гармонический сигнал, то и установившееся значение выходной величины будет гармоническим:

где — изображение выходной величины по Фурье; — изображение входной величины по Фурье; — комплексный коэффициент усиления замкнутой системы.

При воздействии на систему единичной ступенчатой функции выходная величина, являющаяся переходной характеристикой системы определяется через вещественную частотную или мнимую частотную характеристику замкнутой системы:

где — вещественная частотная характеристика замкнутой САУ;

где — мнимая частотная характеристика замкнутой системы.

Определение переходной характеристики по (4.72), (4.73) возможно лишь численными методами с применением ЦВМ. Но возможен и другой путь, связанный с аппроксимацией вещественной и мнимой частотных характеристик линейно-кусочными функциями. Это позволяет получить достаточно удобные выражения для приближенного построения переходной характеристики.

Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по обобщенным вещественной и мнимой характеристикам:

где — изображение входного воздействия по Фурье. При этом необходимо, чтобы полюсы функции располагались слева от мнимой оси.

Рассмотрим основные свойства вещественных частотных характеристик и соответствующих им переходных процессов. Из (4.72) следуют основные свойства и Приведем их без доказательств.

1. Свойство линейности: если вещественную частотную характеристику можно представить суммой

то и переходный процесс может быть представлен суммой составляющих:

2. Соответствие масштабов по оси ординат для и Если умножить на постоянный множитель а, то соответствующие значения тоже умножаются на этот множитель а.

3. Соответствие масштабов по оси абсцисс для и Если аргумент со в соответствующем выражении частотной характеристики умножить на постоянное число (рис. 4.23, а), то аргумент и в соответствующем выражении переходного процесса будет делиться на это число (рис. 4.23, б), т. е.

4. Начальное значение вещественной частотной характеристики равно конечному значению переходной характеристики:

Начальное значение мнимой частотной характеристики

5. Конечное значение вещественной частотной характеристики равно начальному значению оригинала переходной характеристики:

Представляют интерес разрывы непрерывности и пики в вещественной частотной характеристике. Предположим, что при вещественная частотная характеристика имеет разрыв непрерывности при этом характеристическое уравнение системы будет иметь мнимый корень

Рис. 4.23

Рис. 4.24

Рис. 4.25

т. е. в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания, если остальные корни левые. Характеристика для этого случая показана на рис. 4.24, а. По-видимому, высокий и острый пик частотной характеристики, за которым переходит через нуль, при частоте, близкой к соответствует медленно затухающим. колебаниям (рис. 4.24, б).

6. Чтобы переходная характеристика системы имела перерегулирование, не превышающее вещественная частотная характеристика должна быть положительной невозрастающей функцией частоты (рис. 4.25), т. е.

7. Условия монотонного протекания переходного процесса. Чтобы переходный процесс имел монотонный характер, достаточно, чтобы соответствующая ему вещественная частотная характеристика была положительной, непрерывной функцией частоты с отрицательной, убывающей по абсолютному значению производной (рис. 4.26, а, б), т. е.

8. Определение наибольшего значения перерегулирования переходного процесса по максимуму вещественной частотной характеристики (рис. 4.27):

где максимальное значение начальное значение

Рис. 4.26

Рис. 4.27

Рис. 4.28

9. Если вещественная частотная характеристика близка к трапецеидальной, т. е. может быть аппроксимирована трапецией с диапазоном частот и коэффициентом наклона (рис. 4.28), то время регулирования переходного процесса системы заключено в пределах

Оценить время регулирования и перерегулирование можно по кривым, приведенным на рис. 4.29. Это применимо для систем с невозрастающей вещественной частотной характеристикой.

Если вещественная частотная характеристика имеет максимум Ртах, то перерегулирование а в и время регулирования оценивают по кривым рис. 4.30, а, б в зависимости от отношения При этом время регулирования заключено в пределах

Остановимся на приближенном методе построения графиков переходных процессов в системе по вещественным частотным характеристикам при воздействии единичной функции и нулевых начальных условиях.