§ 3.5. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения

Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица.

Прежде чем познакомиться с ними, заметим, что необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (3.30):

Действительно, в соответствии с теоремой Безу уравнение (3.30) можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни

Если все корни характеристического уравнения будут отрицательны, то все множители выражения (3.32) будут иметь вид

где — значения корней.

Производя перемножение в (3.33), получим (3.30), в котором все коэффициенты будут определяться положительными членами выражения (3.33), т. е. будут положительны.

Если характеристическое уравнение (3.30) имеет комплексные корни с отрицательными вещественными частями, то оно может быть представлено в виде

или

Уравнение (3.34) также приводится к виду уравнения (3.30) с положительными коэффициентами.

Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости, поскольку в этом случае при положительных коэффициентах характеристического уравнения все его корни являются левыми. Однако для систем третьего и высших порядков положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым условием устойчивости, но не достаточным. В этом случае все вещественные корни характеристического уравнения (если они есть) левые, комплексные же корни могут быть и правыми.

Критерий устойчивости Рауса и Гурвица позволяют по коэффициентам характеристического уравнения (3.30) без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы.