§ 6.2. Анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния и по характеристическому уравнению

Пусть процессы в системе описываются уравнением Для того чтобы система (6.1) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы А имели отрицательные действительные части, т. е. лежали слева от мнимой оси плоскости комплексного переменного

Рассмотрим характеристическое уравнение

где Е — единичная матрица.

Корни характеристического уравнения (6.4) являются собственными числами матрицы А. Совокупность всех собственных чисел образует спектр матрицы А. Сумма элементов, стоящих на главной диагонали, образует след матрицы А и обозначается След матрицы связан с ее собственными числами соотношением

Раскрывая определитель получим характеристическое уравнение

где — сумма всех диагональных миноров первого порядка, равная следу — сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы — определитель матрицы А.

Анализ расположения всех собственных чисел матрицы А относительно мнимой оси осуществляется по коэффициентам уравнения (6.6) с помощью известных критериев. В системах высокого порядка получение коэффициентов характеристического уравнения часто связано с серьезными трудностями чисто вычислительного характера.

Число диагональных миноров порядка матрицы А равно

Таким образом, непосредственное развертывание характеристического определителя и приведение его к виду (6.6) эквивалентны вычислению

определителей различных порядков. Для больших значений эта задача требует большого объема вычислительной работы. В связи с этим были разработаны специальные методы развертывания характеристического определителя минуя вычисление многочисленных диагональных миноров (методы Данилевского, Крылова, интерполяции, Леверье—Фаддеева и др.).

Одним из самых экономичных с точки зрения количества операций является метод А. М. Данилевского. Сущность его состоит в приведении определителя

к так называемому нормальному виду Фробениуса

Развертывание определителя, записанного в нормальном виде Фробениуса, не представляет затруднений. Разлагая определитель по элементам первой строки, получим характеристический полином

Легко убедиться, что элементы первой строки матрицы Фробениуса суть коэффициенты характеристического полинома. При вычислении на машине коэффициентов характеристического полинома целесообразно производить частичную проверку правильности вычисленных коэффициентов, контролируя выполнение соотношения

Несмотря на экономичность, метод чувствителен к вырождению (обращению в нуль) промежуточных определителей.

Метод, предложенный А. Н. Крыловым, заключается в предварительном преобразовании уравнения

в эквивалентное ему

развертывание которого по степеням s осуществляется значительно проще, так как определитель можно разлагать по минорам первого столбца. Метод чувствителен к вырождению определителей и имеет меньшую точность вычисленных коэффициентов.

Нечувствителен к вырождению определителей метод Леверье—Фаддеева. Расчетная схема состоит в построении последовательности

Полученные величины представляют собой коэффициенты характеристического полинома

Отметим, что попутно с вычислением коэффициентов характеристического полинома может быть построена обратная матрица Практически метод сводится к -кратному перемножению матриц порядка и. Число операций умножения составляет около

При реализации этого метода на ЦВМ в случае операций с матрицами высокого порядка может происходить переполнение разрядной сетки, что вызывает необходимость введения масштабирования; при вычислении последовательности матриц происходит накопление ошибки при округлениях, которое с увеличением порядка матрицы увеличивается, так как

происходит пропадание последних значащих цифр ввиду вычитания очень близких друг к другу величин, Это приводит к тому, что при больших порядках матрицы А коэффициенты характеристического полинома оказываются вычисленными с пониженной степенью точности. Накопление ошибки начинается с 7-8-го порядка и в дальнейшем увеличивается с ростом

Если задана структурная схема системы и имеются передаточные функции отдельных звеньев, то определение передаточной функции ведется по обычным правилам структурных преобразований схем и построение характеристического полинома не таит в себе принципиальных трудностей. Однако при ручных расчетах это связано с утомительными выкладками, которые могут являться источником ошибок. При постановке задачи на ЦВМ передаточные функции отдельных звеньев представляются полиномами не выше второго порядка. Характеристический полином системы может быть записан в виде

Программа должна предусматривать раскрытие скобок и приведение подобных членов.

Перспективно построение передаточной функции с помощью топологических методов.

Реализация на ЦВМ этих методов излагается в специальной литературе.

В настоящее время для оценки расположения корней характеристического уравнения относительно мнимой оси существуют критерии Рауса, Гурвица, Льенара—Шипара, Михайлова, Найквиста, методы непосредственного вычисления корней (Ньютона, Мюллера, Берстоу). Для анализа устойчивости импульсных систем используется критерий Шура—Кона. Все перечисленные критерии опираются на знание коэффициентов характеристического полинома.

Машинная реализация и сопоставление критериев показали, что наиболее простой, удобной в реализации и надежной является вычислительная схема Рауса. Критерий позволяет исследовать систему с учетом любой заданной степени устойчивости 11. При этом возникает задача формирования коэффициентов смещенного характеристического уравнения

Относительно новых коэффициентов уравнение записывается в виде

Коэффициенты суть

где k — номер коэффициента; С — число сочетаний по из

Формула для может быть представлена так:

Отрицательным значениям величины соответствует смещение прямой вправо, а положительным — влево.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение третьего порядка. Сместим его влево на величину степени устойчивости . Вычислим коэффициенты :

Имеем:

Если характеристическое уравнение записать в виде

то коэффициенты смещенного уравнения вычисляются по видоизмененной формуле

где — число сочетаний из по

Отметим, что в некоторых задачах, например при направленном выходе в область устойчивости, критерий Рауса

использовать затруднительно, так как он не позволяет ввести количественную меру. (Это, впрочем, относится и к другим критериям, в которых используется принцип . В качестве такой количественной меры, например, может быть использована вещественная часть ближайшего к мнимой оси собственного числа Величина является непрерывной, хотя и негладкой, функцией параметров. Если задана область допустимых значений параметров, то возможно из неустойчивой точки направленно выйти на границу области устойчивости. Применение критерия Рауса в такой ситуации приводит к тактике прямого перебора, хотя в силу экономичности критерия это часто оказывается оправданным