Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья.

Звено, которое можно описать уравнением

или в другой форме

где или передаточной функцией

называют колебательным, если консервативным, если и апериодическим звеном второго порядка, если Коэффициент называют коэффициентом демпфирования.

Колебательное звено.

Частотная передаточная функция

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции:

Фазовая частотная функция, как это видно из АФЧХ (рис. 2.9, а), изменяется монотонно от 0 до и выражается формулой

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (рис. 2.9, б) при асимптотически стремится к оси частот, а при — к прямой . Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования.

Амплитудная частотная функция

логарифмическая амплитудная функция

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

где является сопрягающей частотой. Оно получается из уравнения (2.51), если под корнем при оставить только единицу, а при а — слагаемое Асимптотическая ЛАЧХ (рис. 2.9, б) при параллельна оси частот, а при имеет наклон —

Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ (рис. 2.9, б) при малых значениях коэффициента демпфирования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических (рис. 2.9, г).

Решив дифференциальное уравнение (2.49) колебательного звена при и нулевых начальных условиях найдем переходную функцию:

где

Весовая функция

По переходной характеристике (рис. 2.9, в) можно определить параметры колебательного звена следующим образом.

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Передаточный коэффициент k определяют по установившемуся значению переходной функции. Постоянную времени Т и коэффициент демпфирования можно найти из уравнений

или

где — период колебаний; — амплитуды двух соседних колебаний относительно установившегося значения (рис. 2.9, в).

Консервативное звено

Передаточная функция

Частотная передаточная функция

Фазовая частотная функция, как это следует из АФЧХ (рис. 2.10, а),

Это выражение можно получить из фазовой частотной функции колебательного звена предельным переходом при Нетрудно выписать выражения для остальных частотных функций; ЛЧХ приведены на рис. 2.10, б.

Переходная функция

Переходная характеристика (рис. 2.10, в) представляет собой график гармонических колебаний.

Апериодическое звено второго порядка

Передаточную функцию (2.50) при можно преобразовать к виду

где

Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Оно не относится к числу элементарных звеньев.

Форсирующее звено второго порядка.

Так называют звено, которое описывается уравнением

или, что то же, передаточной функцией

при условии, что

Не представляет трудности получить выражения для частотных и временных функций и построить соответствующие характеристики.

На рассмотрении этих вопросов останавливаться не будем Заметим только, что при частотах, превышающих сопрягающую частоту, ЛАЧХ имеет наклон и ЛФЧХ получается зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ соответствующего колебательного или консервативного звена. Если то звено с передаточной функцией (2.52) не относится к числу элементарных; его можно представить как последовательное соединение двух форсирующих звеньев первого порядка.

Неминимально-фазовые звенья.

Звено называют минимально-фазовым, если все нули и полюсы его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет положительную вещественную часть.

Напомним, что нулями передаточной функции где — полиномы от называют корни

Рис. 2.11

уравнения , т. е. такие значения при которых передаточная функция обращается в нуль, а полюсами — корни уравнения , т. е. такие значения при которых передаточная функция обращается в бесконечность.

Все рассмотренные выше элементарные звенья относятся к минимально-фазовым. Примерами неминимально-фазовых элементарных звеньев являются звенья с передаточными функциями:

и др. Для неминимально-фазового звена характерно, что у него сдвиг фазы по модулю больше, чем у минимально-фазового звена, имеющего одинаковую с неминимально-фазовым звеном АЧХ.

На рис. 2.11 приведены ЛЧХ неминимально-фазовых звеньев с передаточными функциями (рис. 2.11, а) и (рис. 2.11, б). ЛАЧХ этих звеньев совпадают с ЛАЧХ апериодического (см. рис. 2.7, 6) и форсирующего (см. рис. 2.8, б) звеньев. Сдвиг фазы у последних меньше: фазовые частотные функции апериодического и форсирующего звеньев по абсолютной величине не превышают значения , а фазовые частотные функции соответствующих неминимально-фазовых звеньев достигают по абсолютной величине значения . К неминимально-фазовым звеньям относят также звено чистого запаздывания с передаточной функцией

Частотная передаточная функция

Рис. 2.12

Для остальных частотных и временных функций имеем:

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2,12, а) — окружность с центром в начале координат и радиусом k. Канадой точке этой характеристики соответствует бесконечное множество значений частот. ЛАЧХ (рис. 2.12, б) совпадает с ЛАЧХ пропорционального звена с передаточной функцией к, ЛФЧХ (рис. 2.12, б) — с графиком функции Переходная характеристика приведена на рис. 2.12, в.