Графы.

Математическую модель системы управления наглядно можно представить также с помощью ориентированных

Рис. 2.22

графов. Графом называется [1] совокупность множества V точек, называемых вершинами, и множества простых (т. е. самонепересекающихся) кривых, называемых ребрами, удовлетворяющих следующим условиям: 1) каждое незамкнутое ребро содержит ровно две точки множества V, которые являются граничными точками ребра; 2) каждое замкнутое ребро содержит только одну точку из V (граничные точки совпадают); 3) ребра (кривые из множества не имеют общих точек, за исключением точек из множества V.

На рисунке вершина изображается точкой или окружностью. Граф обозначают одной буквой или парой букв (V, , где V — множество вершин, — множество ребер графа. Если множества V и состоят из конечного числа элементов, то граф называется конечным. Граф который состоит из части вершин с V) и части ребер графа называется подграфом При этом называется подграфом Если вершины являются граничными точками ребра то говорят, что инцидентно каждой из вершин и, обратно, каждая из вершин инцидентна Граничные точки ребра очевидно, можно определить как вершины, т. е. точки из множества V, инцидентные Если ребро замкнуто, т. е. оно имеет только одну граничную точку, то ребро называется петлей.

Если ребра ориентированы, т. е. на каждом ребре задано направление, то граф называется ориентированным графом, или орграфом. Ориентированные ребра называются дугами. Поэтому ориентированный граф, или орграф, можно определить как совокупность множества V вершин и множества D дуг, удовлетворяющих перечисленным выше трем условиям. Вершина, являющаяся начальной граничной точкой дуги называется ее начальной вершиной, а вершина, являющаяся конечной граничной точкой дуги — ее конечной вершиной.

Последовательность дуг (не обязательно разных), для которой конечная вершина дуги является начальной вершиной дуги называется ориентированным маршрутом (ормаршрутом). Ориентированный маршрут называется замкнутым, если конечная вершина дуги совпадает с начальной вершиной дуги . В противном случае ормаршрут называется незамкнутым. Ормаршрут, в котором нет повторяющихся дуг (все дуги разные), называется путем от вершины к вершине если он незамкнут, и контуром (ориентированным циклом), если он замкнут. Если

Рис. 2.23

все вершины различны, то путь или контур называется простым (в случае контура совпадают). Вершины будем называть соответственно начальной и конечной вершинами пути, а остальные вершины — промежуточными. Дуги называются параллельными или строго параллельными, если они имеют общие начальную и конечную вершины.

Граф системы управления представляет собой ориентированный граф, который обладает следующими свойствами

1. Каждая дуга (ребро со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала) изображает звено и характеризуется оператором изображаемого ею звена. Поэтому можно говорить о передаточной функции, дифференциальном уравнении, частотных и временных функциях дуги.

2. Каждой вершине ставится в соответствие одна из переменных. Если к вершине подходит (входит в нее) только одна дуга, то соответствующая ей переменная равна выходной величине дуги (выходной величине изображаемого ею звена). Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая ей переменная равна сумме выходных величин этих дуг. Входная величина дуги (входная величина изображаемого ею звена) равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит. Если из вершины исходят несколько дуг, то входная величина всех этих дуг одна и та же.

Граф системы управления легко построить по ее структурной схеме. И наоборот, по графу системы управления нетрудно построить структурную схему. При построении графа системы управления по ее структурной схеме нужно исходную схему (рис. 2.23, а) представить так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком (рис. 2.23, б). Затем по последней схеме построить граф (рис. 2.23, в), руководствуясь следующими правилами: 1) каждый сумматор заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная заменяемого сумматора; 2) каждое звено (прямоугольник

Рис. 2.24

на структурной схеме) заменяется дугой с оператором, равным оператору заменяемого звена; 3) каждой переменной (в том числе переменной, обозначающей внешнее воздействие) соответствует своя вершина. Если нужно изобразить выход одной из дуг (например, дуги с передаточной функцией на рис. 2.24, а), входящих в общую вершину, то следует ввести дополнительную, конечную для этой дуги вершину и соединить эту вершину с исходной вершиной дугой с единичным оператором (рис. 2.24, б).

На графе системы управления, как правило, для обозначения дуги и ее оператора, точно так же как и для обозначения вершины и соответствующей ей переменной, будет использоваться одна и та же переменная. И поэтому выражения «дуга с оператором и «дуга а также выражения «вершина, соответствующая переменной и «вершина будут иметь одинаковый смысл.