§ 2.5. Временные характеристики

Другой важной характеристикой автоматических систем (звеньев) являются переходные и импульсные переходные функции и их графики — временные характеристики. Их используют при описании линейных систем, как стационарных, так и нестационарных.

Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают Иначе: переходная функция есть функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно описать единичной функцией

График переходной функции — кривая зависимости функции от времени t — называют переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию . График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную характеристики называют временными характеристиками.

При определении весовой функции было использовано понятие единичного импульса. Физически единичный импульс

можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается функцией которую называют дельта-функцией; дельта-функция является обобщенной функцией. Теория обобщенных функций — сравнительно новый раздел функционального анализа, и здесь она не будет рассматриваться. Отметим только, что в рамках теории обобщенных функций любые встречающиеся в приложении функции обладают производными любого порядка. В частности, существует производная от единичной функции — она равна дельта-функции: . Обладает производными любого порядка и дельта-функция.

Перейдем к определению дельта-функции и ее производных. При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при решении практических задач, как правило, дельта-функция и ее производные встречаются только на промежуточных этапах. В окончательном результате они или отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо «обычной» функцией. Поэтому нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое дельта-функция, а достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения дельта-функции или какой-либо ее производной и обычной функции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельтафункцию можно определить так: дельта-функция есть функция, которая обладает следующими свойствами:

Производные от дельта-функции можно определить по следующим соотношениям:

где — произвольное положительное число; — обычная функция, обладающая производной; производная по времени от дельта-функции.

Найдем изображение по Лапласу от дельта-функции и ее производных. При этом преобразование Лапласа будем трактовать как предельное соотношение

Используя соотношения (2.32)-(2.35), нетрудно получить

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в общем виде:

В изображениях по Лапласу это уравнение принимает вид

где есть передаточная функция.

Как легко проверить, используя (2.36), уравнение (2.38) справедливо и в тех случаях, когда или

В соответствии с определением весовой функции при переменная . И так как то при этом (2.38) можно записать

Таким образом, передаточная функция равна изображению по Лапласу от весовой функции и соответственно

Последнюю формулу можно использовать для вычисления весовой функции.

Установим связь между весовой и переходной функциями. Так как то уравнение (2.38) при принимает вид

Сравнив эту формулу с (2.39), нетрудно заметить, что Так как при нулевых начальных условиях умножению

изображения на s соответствует дифференцирование оригинала, то из последнего равенства . Весовая и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии. Действительно, исходя из уравнения (2.38), с помощью теоремы о свертке (свойство 5 преобразования Лапласа) можем записать

Эта формула, как и уравнение (2.38), справедлива только при нулевых начальных условиях.