§ 2.9. Нестационарные линейные системы

Нестационарными линейными системами или линейными системами с переменными параметрами называют системы, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Для их Описания помимо

мимо дифференциальных уравнении могут быть использованы передаточные функции, переходные и весовые (импульсные переходные) функции, частотные функции и их характеристики. Кроме того, для графического представления нестационарных систем могут быть использованы структурные схемы и графы. Однако методы, основанные на графических представлениях, не так эффективны, как в случае стационарных систем. Правила преобразования структурных схем и графов, установленные при изучении стационарных систем, в случае нестационарных систем несправедливы.

Рассмотрим некоторые способы описания одномерных нестационарных систем. Они могут быть обобщены на многомерные системы так, как это было сделано при описании стационарных линейных систем.

Так как для линейных систем (как стационарных, так и нестационарных) справедлив принцип суперпозиции, тодля простоты можем ограничиться рассмотрением систем с одним входом.

Уравнение одномерной нестационарной системы (объекта) с одним входом в общем случае можно записать в виде

или, в символической (операторной) форме

где нестационарные линейные дифференциальные операторы

Весовые функции.

Как уже было определено, весовой функцией называют решение уравнения (2.92) при и и нулевых «начальных» условиях, т. е. функцию, которая описывает реакцию на единичный импульс системы, находящейся в момент приложения импульса в исходном состоянии. Здесь обозначает момент приложения импульса и в определении под начальными условиями понимают значения выходной величины и ее производных в момент т. При рассмотрении стационарных систем обычно в качестве начала отсчета времени принимают

момент приложения входного сигнала и поэтому в этих случаях полагают . В данном случае этого делать нельзя. Реакция нестационарной системы зависит не только от времени отсчитываемого от момента приложения импульса, но и от самого значения т. Поэтому, весовая функция нестационарной системы — обозначим её являются функцией от двух переменных от текущего времени t и момента приложения импульса.

Реакция — процесс на выходе системы — не может возникнуть до приложения входного сигнала: следствие не может предшествовать причине. Поэтому

Это условие называют условием физической осуществимости или условием физической реализуемости. В случае стационарной системы условие физической осуществимости имеет вид при

Получим формулы, определяющие связь между выходной и входной величинами нестационарной линейной системы управления через ее весовую функцию. Так как, по определению, есть решение уравнения (2.93) при и то можем записать

Умножим обе части на и и проинтегрируем по от до а затем, вынеся коэффициенты уравнения за знак интеграла (это возможно, так как они не зависят от и поменяв местами операции интегрирования и дифференцирования, получим

Из определения дельта-функции

поэтому (2.96) можно переписать в виде

Из последнего равенства, которое выполняется тождественно, вытекает, что функция

является решением уравнения (2.93) при произвольном заданном и Нижний предел интегрирования в (2.97) совпадает с моментом подачи входного воздействия. Поэтому (2.97) является искомой формулой, определяющей связь между выходной и входной величинами нестационарной линейной системы в «установившемся» режиме. Учитывая условие физической осуществимости (2.94), формулу (2.97) можно записать также в виде

Аналогично, умножив обе части равенства (2.95) на и и проинтегрировав их от 0 до получим формулу

определяющую выходную величину нестационарной линейной системы, когда на ее вход подается воздействие и в момент . С учетом условия физической осуществимости ее также можно записать в виде

Если зафиксировать переменную то весовая функция будет функцией от одной переменной t, зависящей от параметра и называться нормальной весовой функцией. Нормальная весовая функция определяет изменение выходной величины системы в течением времени при подаче на ее вход единичного импульса в заданный момент т.

Если зафиксировать переменную t — рассматривать ее как параметр, — то весовая функция будет функцией от одной переменной и называться сопряженной весовой функцией. Сопряженная функция определяет зависимость реакции

системы в фиксированный момент t от моменту приложения единичного импульса.