§ 100. Распределение Больцмана

Полученная в § 92 барометрическая формула

(100.1)

(см. (92.4)) дает зависимость давления от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотермической атмосферы. Заменим в показателе экспоненты отношение равным ему отношением ( — масса молекулы, k — постоянная Больцмана). Кроме того, подставим в соответствии с (86.7) вместо выражение а вместо — выражение Сократив затем обе части равенства на придем к формуле

(100.2)

Здесь — концентрация молекул (т. е. число их в единице объема) на высоте — концентрация молекул на высоте

Из формулы (100.2) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при (рис. 100.1). При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности.

При высоких температурах, напротив, слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой ) стремится расположить их на поверхности Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной ) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам. Чем больше и меньше Т, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. В пределе при тепловое движение совсем прекращается, и под влиянием притяжения молекулы располагаются на земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и плотность молекул медленно убывает с высотой.

На разной высоте молекула обладает различным запасом по тенциальной энергии:

(100.3)

Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. С учетом (100.3) формулу (100.2) можно записать следующим образом:

где — плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение — плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы равна нулю.

Из (100.4) следует, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборот, с меньшей плотностью — в местах, где их потенциальная энергия больше.

В соответствии с (100.4) отношение в точках, где потенциальная энергия молекулы имеет значения равно

Рис. 101.1.

Больцман доказал, что распределение (100.4) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим распределение (100.4) называют распределением Больцмана.

В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение кинетической или соответственно потенциальной энергии одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы.

Согласно формуле (100.4) количество молекул, попадающих в пределы объема расположенного в точке с координатами х, у, z, равно

(100.6)

Мы получили еще одно выражение закона распределения Больцмана.

Распределения Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла — Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до а координаты в пределах от х, у, z до равно

(100.7)

(см. (98.1), (98.24) и (100.6)). Здесь A — нормировочный множитель, равный Напомним, что

В распределении (100.7) потенциальная энергия и кинетическая энергия а следовательно, и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если полная энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений: как это имеет место, например, для внутренней энергии атома, то распределение Больцмана имеет вид

(100.8)

где — число частиц, находящихся в состоянии с энергией , А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию

(N — полное число частиц в рассматриваемой системе).

Подставив найденное из последнего соотношения значение А в формулу (100.8), получим окончательное выражение распределения Больцмана для случая дискретных значений энергии:

(100.9)