2.6. АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ

Теперь рассмотрим кратко основную тему этой книги — метод получения чисел Хаунсфилда по монохроматическим проекционным данным. На практике этот метод применяют, используя скорректированные полихроматические

проекционные данные вместо, как правило, отсутствующих монохроматических проекционных данных.

Предполагая использовать этот метод для ЭВМ, следует выработать точные инструкции того, как получить из монохроматических проекционных данных числа Хаунсфилда. Свод точно сформулированных инструкций, которые задают шаг за шагом, как по определенным входным данным прийти к желанным выходным, называется алгоритмом. Инструкции, которые доктор предписывает имеющемуся в его распоряжении младшему персоналу о выполнении анализов и их последовательности и которые основаны на предварительно проведенных анализах, образуют алгоритм. Инструкции, даваемые Internal Revenue Service, о том, как надо заполнять налоговые декларации, также должны иметь вид алгоритма.

По существу, одну и ту же процедуру необходимо описывать по-разному в зависимости от того, кому она предназначена. Очень подробная программа требуется для ЭВМ, чтобы она выполнила те вычисления, которые выполняет математик, если ему дадут несколько формул.

Чтобы построить алгоритм получения чисел Хаунсфилда по монохроматическим проекционным данным, сначала заменим эту задачу на математически идеализированную. Это в некоторой степени соответствует классическому приближению, которое обычно делают при вычислении орбиты Земли, а именно считают, что вся масса Земли сосредоточена в одной точке (в ее центре). Хотя такое предположение явно неверно, до сих пор оно приводило к правильным результатам, и в этом состоит веское основание для его использования: оно делает теорию и вычисления легко контролируемыми. Вряд ли мы смогли бы вычислить орбиту Земли, если бы должны были знать положение каждой мухи перед выполнением таких вычислений.

При построении теории алгоритма реконструкции надо сделать следующие упрощающие предположения: 1) слои являются бесконечно тонкими; 2) для любого определенного положения пары источник — детектор все фотоны рентгеновского излучения идут по одной и той же прямой линии, которая лежит внутри бесконечного тонкого слоя. Следствием первого приближения является то, что исчезает разница между злобами и элизами. В самом деле, слой бесконечно тонок, и его можно рассматривать как плоскую картину, градации которой в любой точке пропорциональны относительному коэффициенту линейного ослабления в этой точке. Вот почему теорию, лежащую в основе подобных алгоритмов реконструкции, часто называют реконструкцией изображения по проекциям.

Пусть прямая линия, вдоль которой идут фотоны, т.е. это траектория всех фотонов рентгеновского излучения для определенного положения пары источник — детектор. Пусть множество соответствующих монохроматических лучевых сумм. При использовании определения коэффициента ослабления в разд. 16.2 доказывается, что

Здесь означает «приближенно равно», a z - расстояниеот точки на прямой L (рис. 2.8).

Так как для точек вне области реконструкции, то интегрирование формулы (2.4) идет вдоль прямой Задача состоит в том, чтобы вычислить величины по оценкам их интегралов вдоль множества прямых, т.е. по монохроматическим проекционным данным.

В общем виде эта задача была решена Радоном [131] в 1917 г. Пусть I — удаление прямой от начала координат, в — угол, который составляет с осью перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую (рис. 2.8), а интеграл от по линии Радон показал, что (разд. 16.3)

где обозначает частную производную от по Хотя все детали этой формулы для не специалиста в области математики, вероятно, не ясны, ее суть должна быть следующей: распределение относительного линейного ослабления в бесконечно тонком слое однозначно определяется множеством всех линейных интегралов.

Это не означает, то все проблемы реконструкции изображений по проекциям были решены еще в 1917 г. Существует много практических трудностей в использовании для этого математического решения идеализированной задачи:

1. Формула Радона определяет изображение по всем его линейным интегралам. Даже если те являлись точными проекциями по множеству прямых,

Рис. 2.9. Схема математических и вычислительных операций, используемых в реконструктивной томографии. (Воспроизводится из работы [65] с разрешения автора. Авторское право Institute of Physics )

конечное число этих интегралов достаточно для однозначного и точного определения изображения. Опираясь только на конечное множество данных, легко восстановить объект, получив, однако, очень неточные реконструкции (разд. 16.4).

2. Измерения, проводимые в реконструктивной томографии, можно использовать только для оценки линейных интегралов. В хаких оценках присутствуют погрешности, связанные с шириной пучка рентгеновского излучения, рассеянием, изменением энергетического спектра излучения по мере прохождения через объект, статистикой фотонов, просчетами детектора и т.п. Обратная формула Радона весьма чувствительна к подобным погрешностям.

3. Радон вывел математическую формулу, а нам же нужен эффективный алгоритм счета, который не всегда просто получить.

За последнее время было проведено много исследований по построению алгоритмов, которые были бы достаточно быстрыми при реализации на ЭВМ и которые давали бы хорошие изображения, несмотря на конечность и неточность экспериментальных данных. Ббльшая часть этой книги посвящается данной проблеме.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Математические и вычислительные процедуры, лежащие в основе РТ и рассмотренные в этой главе, даны на рис. 2.9. Ббльшая часть материала основана на работах (64, 65]. Обзор традиционной томографии дан по работе [51]. Имеется более поздняя работа (149], в которой даны ссылки на другие работы. Более подробное рассмотрение сущности алгоритмов можно найти, например, в сборнике [133]. Преобразование Радона было введено самим Радоном [131] в 1917 г.; он же вывел обратную формулу, на которой основано выражение (2.5).