8.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Преобразование Фурье представляет собой оператор, который воздействует на функцию вещественного переменного, в результате чего получается комплексная функция (т.е. функция, представимая в форме где вещественные функции, а частности, мы будем использовать запись для обозначения комплексной величины поскольку любое комплексное число а можно записать в экспоненциальной форме где выбирают равным положительному корню находят из соотношения При этом называют модулем, аргументом комплексного числа Модуль обычно обозначается в виде что совпадает с обозначением абсолютной величины вещественного числа а.

Если комплекснозначная функция вещественного переменного, то можно определить в виде

где вещественные функции, для которых справедливо равенство

Одномерное преобразование Фурье является оператором, который связывает комплекснозначную функцию вещественного переменного с другой комплекснозначной функцией (также вещественного переменного) с помощью соотношения

Аналогично одномерное обратное преобразование Фурье представляет собой оператор, связывающий комплекснозначную функцию вещественного

переменного с другой комплекснозначной функцией (также вещественного переменного), определяемой как

Наиболее важное свойство упомянутых операторов состоит в том, что для многих функций (в том числе по предположению и для всех используемых в данной книге) имеет место соотношение

Именно поэтому оператор называется обратным преобразованием Фурье.

Чтобы дать простое качественное объяснение соотношениям между функциями и их фурье-образами, необходимо сделать небольшое отступление.

Гармонической функцией называют функцию, которую можно представить либо как либо как где и — постоянные, — переменная. Амплитудой такой функции называют величину (т.е. все значения функции лежат в промежутке от до Говорят также, что функция периодична с периодом если для всех выполняется условие Форма гармонической функции только на одном периоде приведена на рис. 7.2.

Поскольку на единичном интервале укладывается полных периодов функции, то называют частотой, а величину а — начальной фазой колебаний.

Чтобы наглядно ощутить качественные связи между функцией и ее фурье-образом, предположим, что

где аргумент функции Данное соотношение легко доказывается с помощью формул (8.29), (8.28) и (8.26). Заметим, что для любого фиксированного значения (7 подынтегральные выражения в правой части выражения (8.30) представляют собой гармонические функции по переменной и, изменяющиеся с частотой (7, амплитудой, пропорциональной модулю фурье-образа и начальной фазой, совпадающей с аргументом Грубо говоря, соотношение (8.30) гласит, что как вещественную, так и мнимую часть функции можно разложить по частотам на гармонические составляющие, а амплитуда и начальная фаза той или иной гармоники

с частотой в таком разложении определяются величиной фурье-образа функции в точке .

Разумно предположить, что для медленно меняющихся функций менее важен вклад, даваемый высокочастотными компонентами спектра, т.е. для гладких функций величина достаточно мала на высоких частотах. Данное выражение можно доказать строго математически, однако это не входит в круг рассматриваемых в данной книге вопросов. Тем не менее внимания заслуживает так называемая ограниченная по частоте функция для которой при . В этом случае говорят, что функция имеет полосу частот А. Функции, с которыми мы, вероятно, будем иметь дело при реконструкции изображений, не являются ограниченными по частоте, однако всегда существует некая ограниченная по частоте функция, практически не отличающаяся от реально существующей.

Нами уже были рассмотрены некоторые ограниченные по частоте функции; в частности, согласно определению (8.21), ограниченной является сворачивающая функция ядра Чтобы доказать это, положим

Заметим, что при а также имеет место свойство четности Используя эти соотношения для и подставляя их в формулу (8.28), получим

Сравнение приведенной формулы и формулы (8.21) показывает, что и поэтому является функцией определяемой соотношением (8.31). Последнее означает, что сворачивающая функция в виде функции «окна» шириной А ограничена по частоте этой же величиной.

Теперь естественным образом возникает следующее построение. Функции были введены в разд. 8.1, а соотношения (8.10) привели нас к семейству регуляризирующих функций. Цель построения данного семейства состоит в аппроксимации гильберт-образа [формула (8.9)], которую можно осуществить с наперед заданной точностью в любой точке при достаточно большом значении А. Значение функций в произвольной точке при увеличении А стремится к единице. В связи с этим возникает вопрос: почему бы не использовать взамен выражения (8.31) его предельг ное значение, а именно не положить Если сделать это, то, естественно, мы получим соотношение вида

т.е. при этом мы заменяем приближенную формулу (8.19) на формулу, позволяющую вычислить величину точно. В этих рассуждениях имеется существенный изъян: если функция определяется соотношением

то обратное преобразование Фурье не определено в том смысле, что интеграл с бесконечными пределами интегрирования в правой части определения для обратного преобразования Фурье (8.28) не существует.

Таким образом, указанный прием оказывается обреченным на неудачу, а проблема выбора функции по-прежнему остается открытой. Стремление» достаточно точно аппроксимировать гильберт-образ с очевидностью требует выбора значения А достаточно большим, однако, как это будет показано ниже, структура используемых данных может диктовать противоположное.

Теперь напомним обозначения, использованные в разд. 8.2. Функция двух переменных, для которой необходимо вычислить обратное преобразование Радона, обозначалась буквой Для любого угла в функция определялась из соотношения (8.11). На этом этапе производится свертка функций и -для каждого значения в [формула (8.18)]. Для пояснения способа выборки функции рассмотрим вопрос о том, когда свертка функций приводит к фурье-образу от

Важным соотношением, имеющим непосредственное отношение к рассматриваемому вопросу, является теорема свертки, утверждающая, что фурье-образ свертки двух функций равен произведению фурье-образов этих функций, или в операторной записи

Применяя данную теорему к рассмотренному выше случаю, получим

откуда видно, что величина фурье-образа свертки в точке превышает величину фурье-образа функции в той же точке в раз. Этот вывод имеет много интересных следствий. Например, свертка является ограниченной по частоте функцией с шириной полосы А. Так как практический интерес связан не с формулой аппроксимации обратного преобразования Радона (8.19), а с его реальным применением в разд. 8.3, то необходимо рассмотреть дискретные формы записи свертки и операторов преобразования Фурье.