Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
16.3. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНАНаиболее важным свойством для реконструкции изображения методами интегральных преобразований является то, что существует компактная, замкнутая формула, с помощью которой можно выразить любую функцию через ее радоновский образ. В действительности существуют две различные формулировки обратного преобразования Радона, одна из которых дается формулой (2.5), а другая — соотношением (6.10). Докажем справедливость обеих формул, в точности следуя первоначальному плану доказательства Радона. Последнее обусловлено как чисто историческими соображениями, так и тем, что в нем приводятся только основные вычисления. Единственное возражение, которое можно выдвинуть против доказательства Радона, состоит в том, что те же результаты можно получить с использованием меньшего числа ограничивающих предположений, однако этот вопрос выходит за рамки настоящей книги. В данном разделе будем предполагать, что функция Для любой точки с координатами
Заметим, что при
Радон доказал справедливость следующего соотношения:
Нам необходимо доказать справедливость последнего выражения для всех точек с координатами
Интегрируя по частям, получим
а подставляя полученный результат в выражение (16.14), будем иметь
Изменив порядок интегрирования во втором члене последнего выражения и подставив его в формулу Радона (16.13), получим формулу вида
которая совпадает с выражением (2.5), однако записана не в декартовых, а в полярных координатах. Теперь дадим вывод формулы (6.10). Отметим вначале, что для всех значений
используя которое и делая замену переменных
Подстановка последнего выражения в (16.17) доказывает, что
где последний переход справедлив благодаря предположению о непрерывности функции
совпадающую с выражением (6.10). Теперь нам остается доказать справедливость формулы Радона (16.13). Заметим вначале, что достаточно доказать справедливость (16.13) лишь для случая
Введем также и величину
Для доказательства справедливости формулы Радона важно следующее фундаментальное соотношение между величинами
Доказательство соотношения (16.24) осуществляется в последовательности, определяемой заменой переменных интегрирования
Подставляя соотношение (16.24) в правую часть формулы (16.13), получим
Последний двойной интеграл упрощается следующим образом:
а его подстановка в выражение (16.26) дает
эквивалентное выражение в правой части формулы (16.13). Для завершения доказательства необходимо показать эквивалентность величины Сначала отметим, что функция
а также
Комбинируя соотношения (16.29) и (16.30), для произвольного
Данное выражение завершает доказательство формулы обращения Радона.
|
1 |
Оглавление
|