16.3. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

Наиболее важным свойством для реконструкции изображения методами интегральных преобразований является то, что существует компактная, замкнутая формула, с помощью которой можно выразить любую функцию через ее радоновский образ.

В действительности существуют две различные формулировки обратного преобразования Радона, одна из которых дается формулой (2.5), а другая — соотношением (6.10). Докажем справедливость обеих формул, в точности следуя первоначальному плану доказательства Радона. Последнее обусловлено как чисто историческими соображениями, так и тем, что в нем приводятся только основные вычисления. Единственное возражение, которое можно выдвинуть против доказательства Радона, состоит в том, что те же результаты можно получить с использованием меньшего числа ограничивающих предположений, однако этот вопрос выходит за рамки настоящей книги.

В данном разделе будем предполагать, что функция описывающая изображение, является непрерывной и ограниченной. Напомним, что при

Для любой точки с координатами в области изображения, в частности при функцию одной переменной определим как

Заметим, что при правая часть выражения описывает интеграл по кругу с центром в точке с координатами и радиусом Поскольку при то при имеем

Радон доказал справедливость следующего соотношения:

Нам необходимо доказать справедливость последнего выражения для всех точек с координатами в области изображения. Прежде чем сделать это, покажем, каким образом из (16.13) можно получить формулы, использованные в предыдущих главах. Для этого нам необходимо предположить, что функция имеет непрерывную первую производную, т.е. что существует функция непрерывная по своей первой переменной [определение ]. С учетом указанного предположения и соотношения (16.12) получаем

Интегрируя по частям, получим

а подставляя полученный результат в выражение (16.14), будем иметь

Изменив порядок интегрирования во втором члене последнего выражения и подставив его в формулу Радона (16.13), получим формулу вида

которая совпадает с выражением (2.5), однако записана не в декартовых, а в полярных координатах.

Теперь дадим вывод формулы (6.10). Отметим вначале, что для всех значений имеет место соотношение

используя которое и делая замену переменных получим

Подстановка последнего выражения в (16.17) доказывает, что

где последний переход справедлив благодаря предположению о непрерывности функции по ее первой переменной. Подынтегральное выражение во внешнем интеграле можно также представить в виде несобственного интеграла в бесконечных (или, что эквивалентно, в конечных пределах от до причем значения последнего рассчитывают в смысле главного значения по Коши. Делая замену переменной получаем формулу вида

совпадающую с выражением (6.10).

Теперь нам остается доказать справедливость формулы Радона (16.13). Заметим вначале, что достаточно доказать справедливость (16.13) лишь для случая поскольку справедливость ее для общего случая доказывается простым сдвигом начала координат. Обозначим величину через т.е. будем считать, что

Введем также и величину , равную

Для доказательства справедливости формулы Радона важно следующее фундаментальное соотношение между величинами

Доказательство соотношения (16.24) осуществляется в последовательности, определяемой заменой переменных интегрирования т.е.

Подставляя соотношение (16.24) в правую часть формулы (16.13), получим

Последний двойной интеграл упрощается следующим образом:

а его подстановка в выражение (16.26) дает

эквивалентное выражение в правой части формулы (16.13). Для завершения доказательства необходимо показать эквивалентность величины и выражения (16.28).

Сначала отметим, что функция непрерывна, а поэтому для любого существует такое значение что

а также

Комбинируя соотношения (16.29) и (16.30), для произвольного имеем

Данное выражение завершает доказательство формулы обращения Радона.