8.2. ВЫВОД СВЕРТОЧНОГО АЛГОРИТМА
Теперь рассмотрим вопрос о том, каким образом два этапа вычисления обратного преобразования Радона, а именно численное дифференцирование и преобразование Гильберта [формула (6.15)], можно заменить простой сверткой исходных данных с фиксированной функцией ядра.
Пусть, как и в разд. 6.2, функцию двух переменных 
необходимо подвергнуть обратному преобразованию Радона. Пока считаем переменную в фиксированной и введем обозначение
Далее для любого С имеем
где 
производная функции 
.
Согласно формуле (8.9), выражение в правой части (8.12) можно заменить выражением вида
Видно, что 
при 
Если функция 
определяется соотношением (8.10), а функция 
удовлетворяет условиям разд. 8.1 («а» - «в»), то производная 
функции 
существует и равна
(Здесь был использован стандартный прием, который в анализе обычно известен как метод дифференцирования под знаком интеграла.) Используя указанные обстоятельства, проинтегрируем выражение в правой части (8.13) по частям и получим
- Определим функцию 
при помощи соотношения вида
Сопоставляя полученные выражения, можно сказать, что гильберт-образ 
аппроксимируется сверткой 
Последнее позволяет определить оценку 
даваемую сверточным алгоритмом
[формула 
Введем теперь обозначения, которые позволят нам дать описание сверточного алгоритма в компактной форме.
Введем новый оператор у, который назовем оператором свертки по первой переменной, связывающим функцию 
двух переменных и функцию 
одной переменной с некоторой новой функцией 
Двух переменных согласно определению
где функция 
определена соотношением (8.11).
Математической абстракцией при реконструкции изображения с использованием сверточного алгоритма (со сворачивающей функцией 
) является оценка 
определяемая соотношением
При условии что
функции, определяемые соотношениями (8.17) и (8.19), тождественны друг другу.
Подстановка последнего выражения в формулу (8.14) дает
На рис. 8.3 приведены графики функции 
вид которых определяется выбором различных функций 
Резюмируя сказанное, отметим, что реконструкция изображения с использованием сверточного алгоритма аппроксимирует обратное преобразование Радона, выполняемое в два этапа:
а) сверткой по первой переменной;
б) обратным проецированием.
Функцию ядра на первом этапе обычно выбирают, исходя из выражения (8.21), причем 
одна из функций, принадлежащая семейству функций
Рис. 8.3. Графики функций 
соответствующие функциям «окна», изображенным на рис. 8.1. Функции 
имеют непрерывную производную. Ось и отмечена на графиках как ось расстояний, ось 
как ось величии. Заметим, что функция 
симметрична [формула (8.21)]. Ломаная линия на графике соединяет те значения функции 
при которых она берется в дискретной свертке (8.23) в предположении, что 
(кликните для просмотра скана)
«окна» и удовлетворяющая условиям разд. 8.1 («а» - «в»). Вопрос о выборе функции «окна» обсуждается в разд. 8.6.
