4.4. ПОЛУЧЕНИЕ ЛУЧЕВЫХ СУММ

Моделирование фазы сбора данных в системе программ SNARK77 основано на выражении (2.3):

Прежде всего рассмотрим вопрос о том, как вычисляют калибровочные измерения , которые определяются выражением

где число фотонов, сосчитанных определенным детектором, а число фотонов, сосчитанных за тот же интервал времени эталонным детектором. Как было показано в разд. 3.1, обе величины являются выборками случайной величины, распределенной по закону Пуассона. В системе SNARK77 предполагают, что являются выборками одной и той же случайной переменной величины (со средним, задаваемым пользователем), и поэтому усредненное значение близко к единице. Фактически, если пользователь системы программ намерен промоделировать реально неосуществимый случай, когда нет погрешности, обусловленной статистикой фотонов, то значение берется точно равным 1. В других случаях для нахождения величин используют генератор случайных чисел.

Трудно понять тот факт, что, за исключением пятой схемы сканирования (рис. 3.3,д)), вычислять отдельно для каждой пары источник — детектор не требуется. Это связано со способом калибровки, принятым в различных схемах сканирования (разд. 3.4). В первых двух схемах сканирования (рис. 3.3,а и б) одинаково при всех положениях пары источник — детектор, которые используются для получения данных в одном массиве параллельных пучков. Аналогично в четвертой схеме сканирования (рис. 3.3,г) одно и то же для лучей, которые расходятся от одного и того же детектора по мере движения источника. Иная ситуация возникает в третьей схеме сканирования: одно и то же для всех лучей, которые соединяют источник и определенный детектор по мере передвижения аппаратуры. Все эти лучи касательны к некоторой окружности, и это может служить причиной появления на реконструкции артефактов в виде кольцеобразных полосок, которые возникают, если при калибровке допущены ошибки.

Теперь вернемся к вопросу о том, каким образом вычисляют результаты рабочих измерений При этом величина задается выражением

где число фотонов, сосчитанных рассматриваемым детектором, а число фотонов, сосчитанных эталонным детектором. Также считают, что является выборкой случайной переменной, распределенной по закону Пуассона со средним, определяемым пользователем и равным для определенности, например,

Подсчет наиболее сложен, так как в системе программ SNARK77 учитывают полихроматичность, форму рентгеновского пучка и эффекты рассеяния.

Чтобы пояснить это, вернемся к описанию метода получения фантома (разд. 4.2). Фантом состоит из большого числа элементарных объектов с определенной плотностью. Так как такой фантом представляет распределение линейных коэффициентов ослабления рентгеновского излучения при определенном значении энергии, то требуется только одно значение плотности для каждого элемента. Если же необходимо представить относительное

линейное ослабление при различных энергиях, то используют несколько значений плотности для одного и того же элементарного объекта фантома. Для описания взаимодействия полихроматического пучка рентгеновского излучения с фантомом необходимо задать плотности, соответствующие всем энергиям излучения.

В системе программ SNARK77 эту проблему решают следующим образом. Предполагают, что спектр рентгеновского излучения является дискретным, т.е. фотоны имеют одно из ограниченного набора значений различных энергий. Для каждого значения энергии указывают относительное число фотонов, обладающих данной энергией (основываясь на спектре, который получают при проведении калибровки; см. разд. 3.2) и плотностью при этой энергии всех элементарных объектов. (В общем случае необходимо также указывать и поглощающие способности эталонного материала при каждом из рассматриваемых значений энергии. Но поскольку в рассматриваемом нами примере в качестве эталонного материала используют воздух, то подробно останавливаться на этом вопросе не будем.)

Так как плотность (в нашем случае относительное линейное ослабление рентгеновского излучения при определенном значении энергии) в данной точке есть сумма плотностей всех элементарных объектов, внутри которых данная точка находится, то соответствующий интеграл плотности по прямой равен сумме по всем элементарным объектам произведений из длины пересечения с данным элементарным объектом на плотность в этом элементарном объекте. Допустим теперь, что мы имеем источник, точечный детектор и прямую их соединяющую, и что рассеяние фотонов отсутствует. Тогда выражения (3.10), (4.2) и (4.4) приводят к формуле

где учтено предположение, что ожидаемые величины равны соответственно . В системе программ SNARK77 выражение, стоящее в правой части данного уравнения, определяется следующим образом.

Пусть число дискретных энергетических уровней и число элементарных объектов. - Пусть плотность элементарного объекта при энергии длина пересечения прямой элементарным объектом ( может равняться 0) и вероятность того, что фотон, сосчитанный при калибровочных измерениях, имеет энергию (эти вероятности задаются). Тогда рассматривают как выборку случайной переменной, распределенной по закону Пуассона со средним

Если пользователь моделирует неосуществимый на практике случай, когда отсутствуют статистические флюктуации при счете фотонов, то в этом

случае наборы в системе программ SNARK77 соответствуют значению, которое дает выражение (4.6).

При моделировании формы пучка рентгеновского излучения в системе программ SNARK77 значение равно взвешенному среднему значению величин (4.6) для ряда различных прямых от данного источника к детектору.

При моделировании рассеяния рентгеновского излучения в этой системе величину для определенного положения какого-то детектора заменяют на взвешенное среднее значение величин для данного положения детектора и соседних положений. Предполагают, что вклад в рассеяние в показания детектора, находящегося в каком-либо положении, и в показания детектора в другом положении зависит только от расстояния между этими положениями детектора. Математически это означает, что значения с учетом рассеяния равно свертке значений без учета рассеяния с некоторой функцией рассеяния. (Понятие свертки, которое является весьма существенным для некоторых алгоритмов реконструкции, объясняется в разд. 8.1.) Подобная модель процесса рассеяния является крайним упрощением того, что происходит на самом деле; моделирование рассеяния в системе программ SNARK77 напоминает реальный процесс рассеяния только в самых общих чертах.

В следующей главе даны примеры того, каким образом в системе программ SNARK77 происходит моделирование только что описанных процессов и влияния этих процессов на качество реконструкции.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Более подробно система программ SNARK77 описана в работе [79].

Коэффициенты линейного ослабления для ткани различных видов (кроме костной ткани) при разных значениях энергии рентгеновского излучения были рассчитаны по данным, опубликованным в [129]. Величины для костной ткани были рассчитаны в предположении, что она представляет собой смесь кальция и жиров. Фантомы головы, которые меньше соответствуют действительности, чем фантом, рассмотренный в разд. 4.2, были предложены в работах [78, 142].