6.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В предыдущих главах были показаны реконструкционные изображения фантома головы, полученные по стандартным проекционным данным для веерного пучка или по стандартным проекционным данным для параллельного пучка с использованием различных алгоритмов. В каждом случае мы также приводили кривые распределения плотности вдоль 63-го столбца и значения меры различия между изображениями, которые были введены в разд. 5.1.

В добавлении к этому приведем данные о стоимости реконструкций, определяемой временем, затраченным на ЭВМ. Все Эти алгоритмы входят в систему программ SNARK77 и время, которое будет указано в секундах, затрачиваемых центральным процессором ЭВМ Cyber 173.

Хотя эти времена приведены для полноты картины, их не следует принимать слишком серьезно. Общая система программ, в которую входит большое число алгоритмов, каковой и является SNARK77, по необходимости не столь эффективна для какого-то определенного алгоритма по сравнению с программой, специально написанной для этой цели. Поэтому абсолютные и даже относительные значения времени счета на ЭВМ, приведенные ниже, могут ввести в заблуждение. Алгоритмы, которые используются в сочетании с реальными сканерами реконструктивной томографии, как правило, включают в себя прямое программирование и даже используют спецпроцессоры, тем самым снижая время, затрачиваемое на выполнение реконструкции, на порядки величин по сравнению с тем, которое характерно при использовании программ SNARK77. (Причина использования системы программ SNARK77 заключена в относительной легкости реализации алгоритмов. Однако нет необходимости рассматривать каждый алгоритм индивидуально, приведенный в этой книге, на уровне прямого программирования для данной ЭВМ.)

Эта особенность данных о времени счета на ЭВМ отражает тот факт, что электронное оборудование, используемое для проведения вычислений, очень быстро становится все дешевле и дешевле. Маловероятно, чтобы эффективные алгоритмы реконструкции оставались долгое время неиспользованными исключительно из-за соображений, связанных с временем счета на ЭВМ.

В разд. 10.6 показано, что время счета на ЭВМ не имеет значения, когда дело касается подлинной реконструктивной томографии очень высокого качества.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Значительная часть материала, рассмотренного в данной главе, основана на обзорной статье по итерационным алгоритмам реконструкции [71]. В этой статье рассмотрены ссылки на более ранние работы по реконструктивным алгоритмам, основанным на методах разложения функции в ряд и дано обсуждение критериев оптимизации.

Вопросы, связанные с интегралом Лебега и квадратично интегрируемыми функциями, операторами и линейными функционалами, достаточно хорошо и полио рассматриваются в книге [96].

В нашем изложении обратного преобразования Радона использовались подход и терминология из [140]. Достаточно полное обсуждение математического аспекта преобразований Гильберта можно найти в работе [26]. Ссылки на литературу относительно взятия производных от формулы обращения Радона без предположения таких свойств у функций, как дифференцируемость, даются в конце гл. 16.

Наше изложение многопараметрических случайных переменных основано на работе [141], где также дано обсуждение теоремы Байеса, которая является математической основой использования байесовской оценки.

Эквивалентность критериев, основанных на минимальной норме и минимальной дисперсии, показана, например, в [85].

Метод, основанный на использовании формализма максимума энтропии, широко используется в различных областях науки; есть целые книги, посвященные этому вопросу; см., например, [107]. Предложение об использовании этого метода для реконструкций изображений впервые было дано в [52]. Метод максимума энтропии достаточно широко используют в других областях, где применяют методы восстановления изображений на ЭВМ; см., например, [7]. Из последних работ по методу максимума энтропии см. [43. 119], а также работы, которые приведены в библиографиях в указанных работах.

В ряде работ рассмотрены и другие критерии оптимизации: [151] — максимум отношения сигнал/шум, [139] — максимум правдоподобия и [158] — фильтр Калмана. В работе [92] были определены критерии оптимизации, основанные на использовании функции импульсного отклика и выполнено сравнение таких критериев с критериями Байеса. (Рассмотрение функции импульсного отклика дано в разд. 10.3.)

Сведения о значительном увеличении быстродействия и уменьшении стоимости электронного оборудования за последние годы можно найти в специальном номере Scientific American, September 1977, посвященном проблемам микроэлектроники.