8.3. ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТОЧНОГО АЛГОРИТМА

В разд. 7.2 обсуждался вопрос о том, как применять оператор обратного проецирования. При этом предполагалось, что обратно проецируемая функция известна в точках с координатами где и Для использования развитого выше метода необходимо рассчитать значения свертки в указанных точках по значениям функции в тех же точках.

Комбинируя выражения (8.18) и (8.1), получим

Напомним, что обозначает исходные проекционные данные, и поэтому можно предположить, что при кроме того, напомним использованное нами в разд. 7.2 предположение о том, что Далее, аппроксимируя интеграл в правой части (8.22) интегральной суммой Римана, получим

Сумму в (8.23) называют дискретной сверткой.

Теперь соединим вместе рассмотренные выше операции в общую процедуру получения оценки по проекциям, измеренным вдоль параллельных, эквидистантных лучей с одинаковыми углами наклона. Точнее, мы предполагаем, что имеются оценки величин для целых значений лит, лежащих в интервалах

а) Для каждого значения лежащего в интервале по формуле (8.23) вычисляем величины для Число отсчетаых точек для равно Связанный с вектор часто называют свернутой проекцией.

б) Оценку получают из соотношения (7.2), в котором функция заменена на путем интерполяции значений по исходным значениям

Здесь имеется ряд вычислительных особенностей, на которые хотелось бы обратить внимание читателя.

Поскольку значения лежат в интервалах соответственно, то необходимо, чтобы значения функций были известны по меньшей мере в точках. Для системы регистрации проекционных данных с фиксированной конфигурацией элементов

томографической установки эти значения можно вычислить заранее и использовать в сочетании с большим числом измеренных проекций. [В самом деле, обычно имеет место свойство четности функции формула (8.21).] При этом функцию необходимо вычислять лишь, в точках. (См. также рис. 8.3 в некоторых точках для функции «окна», изображенных на рис. 8.1.)

Для любого фиксированного значения получают из величин Следовательно, проекция, полученная под одним ракурсом (т.е. состоящая из множества параллельных лучей), полностью определяет вид свернутой проекции под данным ракурсом. Вычисления по формуле (8.23) под отдельным ракурсом могут начинаться, как только зарегистрированы все данные под этим ракурсом. При этом не требуется каких-либо данных о других ракурсах.

Аналогично вклад в величину оценки каждой свернутой проекции для произвольного ракурса (при этом фиксировано, изменяется) можно вычислить отдельно независимо для каждого ракурса, поскольку рассмотренная в разд. 7.2 процедура интерполяции позволяет рассчитать значения по величинам при .

Таким образом, на практике операцию свертки, следующую за операцией обратного проецирования, нет необходимости повторять для всех координат при которых берется оценка Вместо этого может быть предложен следующий алгоритм вычислений на ЭВМ.

Сначала задается последовательность дискретизированных элементов изображения путем присваивания каждому элизу значения плотности в центре элиза с координатами Итерационный процесс начинают с оценки

при Для каждого лежащего в интервале из картины мы получаем картинку с помощью следующего двухступенчатого процесса:

а) Вычисление для по значениям а также предварительный расчет значений

б) Вычисление для значений

Для расчетов по формуле (8.25) можно использовать процедуру интерполяции данных.

Дискретиэированное изображение полученное в результате указанного выше итерационного процесса, и является нашей оценкой . Заметим, что, как только величины вычислены, потребность в значениях отпадает, и поэтому в компьютере можно использовать одну и ту же ячейку блока памяти для последовательной записи значений

Отсюда читатель может сделать вывод о том, что описанный выше способ вычислений более эффективен, чем применение «в лоб» формул свертки и обратного проецирования во всех точках с координатами Экономия времени возникает благодаря тому, что нет необходимости вычислять свертку по формуле раз (т.е. по одному разу для каждого элиза и для каждого ракурса), а достаточно повторить эту процедуру всего лишь раз (т.е. по одному разу для каждого луча и для каждого ракурса). Поскольку обычно величина одного порядка с то этим достигается существенный выигрыш в объеме вычислений.

Единственный вопрос, который остался открытым при обсуждении сверточного алгоритма, — это вопрос о выборе сворачивающей функции. Решение этого вопроса опирается на свойства преобразования Фурье и операции дискретизации исходных данных.