9.3. АЛГОРИТМ р-ФИЛЬТРАЦИИ ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

При рассмотрении метола непрерывного обратного проецирования отмечалось, что последний дает размытые изображения исходных картин, причем вклад исходной картины в точке А в реконструированное изображение в точке В обратно пропорционален расстоянию между этими точками. Назначение алгоритма, описываемого в данном разделе, состоит в том, чтобы ликвидировать нерезкость в изображении, возникающей в процессе обратного проецирования.

Указанный алгоритм основан на соотношении между двумерными фурье-образами изображения и радоновского образа того же изображения, подвергнутого обратному проецированию. Это соотношение имеет вид

в любой точке с координатами при

Оценка изображения по проекциям согласно соотношению (9.19), распадается на четыре стадии:

а) обратное проецирование для получения величины

б) вычисление двумерного фурье-обраэа

в) получение новой функции двух полярных координат согласно выражению

г) оценка изображения по формуле

Этимология названия алгоритма на английском языке такова: нередко результаты обратного проецирования в литературе называют слоеграммой (layergram).. В статье, где были сформулированы особенности этого алгоритма, первая полярная координата в двумерном фурье-образе обозначалась греческой буквой поэтому указанные выше операции «б» - «г» получили наименование р-фильтрации.

Недостатком рассматриваемого алгоритма являются трудности в его применении, которые последовательно будут рассмотрены ниже.

Достаточно легко вычислить величину в любой точке с координатами используя при этом выражения для интегральной римановой суммы и интерполяцию согласно разд. 7.2. Однако заметим, что, даже если функция при все равно не существует значения Е, для которого было бы справедливо соотношение при Другими словами, существует случай (можно самостоятельно доказать это), когда

т.е. при этом гарантируется, что величина произвольно мала при достаточно большом

На практике величину можно вычислить лишь на конечном множестве точек. С учетом того, что следующим шагом будет нахождение двумерного фурье-образа от имело бы смысл вычислить значения в эквидистантных точках на прямоугольной сетке (вспомним наше рассмотрение БПФ в двумерном случае), совмещенной с центрами ячеек и образующей, таким образом, кадр изображения. Оставшаяся часть сетки будет выполнять роль рамки вокруг кадра изображения, которая должна быть достаточно большой, чтобы с полной гарантией можно было бы пренебречь значениями вне этой области.

На второй стадии используем алгоритм БПФ для вычисления фурье-образа от Как уже отмечалось выше, число точек, в которых применяется алгоритм БПФ равно числу точек, в которых мы имели значения Пространственное разделение точек (вдоль координатных осей), в которых вычисляются значения обратно пропорционально размерам в области обратного проецирования (т.е. размеру кадра изображения и свободного поля вокруг него, которые были введены выше). Вычисление величин в точках вблизи края прямоугольной сетки, на которой производят расчет, обычно нерационально из-за возникновения ложных частот и шума в исходных данных. Последнее утверждение не подкреплено в этом разделе никакими доказательствами, однако читатель, основываясь на аргументах, аналогичных приведенным при рассмотрении сверточного алгоритма и фурье-алгоритма, может получить их самостоятельно.

Вычисления на третьей стадии достаточно тривиальны, однако по соображениям, аналогичным приведенным в предыдущем разделе, вместо простого умножения на необходимо умножить его на где функция «окна» с шириной полосы пространственных частот, обратно пропорциональной шагу между отсчетами.

Отметим важное свойство: Имея в виду соотношения (9.1), (9.3) и (9.21), можно показать, что

т.е. общая суммарная плотность изображения что весьма нежелательно. Последнее означает, что, какое бы изображение мы ни вычисляли, общая плотность в оценке остается одной и той же. Сделаем два замечания по этому поводу.

Во-первых, соотношение (9.21) до некоторой степени двусмысленно. Функция определена так, что она может всегда иметь (и обычно имеет) на плоскости ненулевые значения. Зная, что мы оцениваем изображение, все значения вне его области можно считать нулевыми, в результате чего функция, описывающая изображение, может с большой точностью иметь

суммарную плотность близкой к той, изображение которой мы пытаемся реконструировать

Во-вторых, саму проблему нельзя считать новой, однако никогда ранее она не была так ясна, как сейчас. При использовании сверточного алгоритма свертываемые проекции имели нулевую суммарную плотность [формула (8.31)]. В приложении к фурье-алгоритму, описываемому выражением (9.14), величина всегда умножается на нуль, и значение суммарной плотности теряет смысл. Тем не менее оба упомянутых алгоритма дают реконструированные изображения, в которых суммарные плотности в пределах кадра изображения достаточно точны.

Однако в случае применения алгоритма, который начинается с р-фильтрации обратного проецирования, эта проблема зачастую оказывается нерешаемой так же эффективно, как и в других алгоритмах реконструкции. Поскольку на четвертой стадии используется алгоритм БПФ, вычисления завершаются расчетом значений на прямоугольной сетке, совпадающей по размеру и по положению с сеткой, на которой велась операция обратного проецирования на первой стадии. Суммы значений на первой сетке равны нулю. Если только она ненамного больше сетки, связанной с областью оцифрованного изображения, то суммарная плотность даже в кадре изображения будет существенно неточной. К счастью, этот эффект легко можно исправить с помощью метода дополнительной нормировки (разд. 7.2). Заметим, что в этом случае мультипликативная нормировка непригодна.

В данной книге не приводятся примеры реконструкции с использованием сверточного алгоритма с обратной последовательностью операций.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Соотношения между преобразованиями Радона и Фурье были рассмотрены в ряде математических статей (например, в [111] и библиографии к ней). Первое упоминание и доказательство теоремы о проекциях применительно к реконструкции изображения дано в [13].

Эквивалентность соотношений (8.23) и (9.15) вытекает из теоремы свертки для дискретного фурье-образа (например,

Ряд исследователей, например Шепп и Логан [142], называли все методы преобразований, в том числе и сверточный алгоритм, методом «фурье-реконструкции». Поскольку ни вывод, ни применение сверточного алгоритма не требуют использования преобразования Фурье (хотя и то и другое в принципе возможно), данное название представляется неудачным, особенно с учетом того, что различия в реализации сверточного алгоритма и фурье-алгоритма реконструкции существенны, и это требует для них различных названий. Хорошее представление обо всем том, что известно о фурье-алгоритме, можно получить из знакомства с работой [117] и библиографии к ней, особенно из работы [36]. В докладе [113] в некоторых экспериментальных результатах содержатся выводы о том, что на практике сверточный алгоритм дает лучшие результаты, чем фурье-алгоритм. Это совпадает с выводами в [135]. В работе [155] обсуждалась возможность использования фурье-алгоритма для небольшого числа ракурсов.

Алгоритм БПФ имеет чрезвычайно большое значение для обоих рассмотренных в данной главе алгоритмов, однако он играет столь значительную роль, что ему посвящены целые книги, например [19].

Термин «rho-filtered layergram» был предложен в [147]. Дальнейшее развитие алгоритма основано на подробном анализе работы [140], в которой также содержалось описание экспериментов с использованием данной методики и различного рода функций «окна» и интерполяционных функций. Читатель может изучить этот вопрос по соответствующей литературе. Алгоритм получил обобщение на случай регистрации данных в расходящемся пучке в [56], а также в [23].

Менее существенные подробности рассмотренных выше алгоритмов реконструкции читатель может найти в работе [79], из которбй взяты рис. 9.4 и 9.5, а также в работе [91].