7.2. РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА ОБРАТНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Метод суммирования может быть реализован различными «аналоговыми» устройствами. Например, можно использовать электронно-лучевую трубку, на экране которой последовательно отображают линии; их положение соответствует тем пучкам рентгеновского излучения, для которых производится измерение лучевых сумм. Информация с электронно-лучевой трубки суммируется на фотографической пленке, причем плотность почернения моделируется пропорционально величине лучевой суммы. Результирующее изображение на фотопленке будет представлять собой реконструкцию, полученную обратным проецированием.

Мы не будем рассматривать подобные аналоговые методы реконструкции. Наш интерес заключается в вычислении величины по данным

у, где для (разд. 6.1 и 6.2). Мы ограничим наше рассмотрение схемой сбора данных для равномерно распределенных в пространстве параллельных лучей в каждом ракурсе. Пусть А обозначает угол между направлениями ракурсов (так что ), a d - шаг между параллельными лучами. Пусть На рис. 7.2, который, по существу, представляет наложение рис. 6.1, б и 6.2, показаны как точки, для которых величина известна, так и прямая, вдоль которой необходимо проинтегрировать чтобы получить

Метод, который обычно используют для численного определения величины данного интеграла, состоит из следующих двух этапов.

Сначала аппроксимируем правую часть выражения (7.1) суммой

Рис. 7.2. Числовое значение оператора обратного проецирования производится по оценке линейного интеграла вдоль .

которую называют суммой Римана для данного интеграла, а затем производим оценку для каждого значения величины по известным значениям путем интерполирования.

В реконструктивной томографии обычно используют два метода интерполяции: метод интерполяции по ближайшему значению и метод линейной интерполяции. При интерполяции по ближайшему значению вычисляют по величинам где выбирают таким образом, чтобы выражение имело наименьшее возможное значение.

При линейной интерполяции выбирают так, чтобы и вычисляют по формуле

Другими словами, определение при помощи метода интерполяции по ближайшему значению выполняют следующим образом: складывают вместе лучевые суммы для лучей по одному из каждого ракурса, которые являются ближайшими к точке и результат умножают на А. Линейная интерполяция является несколько более сложной и дорогостоящей: вместо лучевых сумм одного луча складывают линейную интерполяцию лучевых сумм двух лучей, которые находятся по обеим сторонам от точки .

Чтобы получить дискретизированное изображение, вычисления повторяют для центральной точки каждого элемента изображения и полученный результат рассматривают как оценку плотности в данном элементе изображения. Такое дискретизированное изображение может быть представлено как -мерный вектор-столбец (разд. 6.3).

С учетом замечаний, сделанных в конце разд. 7.1, должно быть ясно, что при таком методе можно получить дискретизированное изображение средние плотности которого существенно отличаются от средней плотности дискретизации изображения, которое реконструируют. Так как обычно мы имеем достаточно хорошую оценку величины как это отмечалось в конце разд. 6.4, то мы можем скорректировать это при помощи нормировки, которая может быть либо аддитивной, либо мультипликативной.

Аддитивная нормировка позволяет получить дискретизированное изображение у которого -компонента равна

(кликните для просмотра скана)

Мультипликативная нормировка дает дискретиэированное изображение, компонента которого равна

Последнее выражение применимо только тогда, когда Отметим, что в любом случае средняя плотность равна .

Интересное свойство мультипликативной нормировки состоит в том, что при ее проведении результат получает вновь правильную размерность. Это связано с тем, что величина имеет размерность обратной длины, так как получается суммированием с безразмерной величиной, деленной на сумму длин, в результате чего имеет правильную размерность. С другой стороны (7.4) почти не имеет физического смысла: величинах равна разнице между величиной, имеющей размерность обратной длины и безразмерной величины По этой причине обычно рекомендуют пользоваться мультипликативной, а не аддитивной нормировкой.

Методы, описанные выше, были использованы для стандартных проекционных данных в параллельном пучке с применением метода линейной интерполяции. Полученные результаты представлены на рис. 7.3, а соответствующие кривые распределения плотности вдоль столбца 63 — на рис. 7.4. Как видно из данных по столбцу, рассмотренные алгоритмы не применимы для исследования тканей внутри головы. Изображение на рис. 7.3, б выглядит черным. Это связано с принятым нами условием воспроизводить значения и меньше черным цветом (разд. 4.3). По этой причине мы воспроизводим данное изображение при другой установке соотношения между яркостью и контрастом на рис. 7.3, в. Меры различия между изображениями приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1 (см. скан) Меры различия между изображениями и время счета на ЭВМ при «непрерывном» обратном проецировании реконструкций по стандартным проекционным данным для параллельного пучка