12.3. СГЛАЖИВАЮЩИЕ МАТРИЦЫ

На практике матрицы фигурирующие в выражении (12.5), представляют собой так называемые сглаживающие матрицы. В настоящем разделе будет дано их определение и пояснены причины их использования при реконструкции изображений.

Заметим, что обе матрицы имеют размерность и поэтому они отображают векторы изображения в векторы изображения. Предположим, что эти векторы соответствуют -разбиению изображения на элизы, т.е. значения компонент векторов изображения равны плотностям упомянутых картинок в каждом элементе изображения (элизе). Рассмотрим теперь процедуру селективного сглаживания; отличающуюся от описанной в разд. 11.4 лишь тем, что пороговое значение здесь выбрано бесконечно большим. В этом случае значение плотности картинки в каждом элизе заменяется взвешенными усредненными значениями плотности в данной и соседних элизах. Процедура сглаживания определяется тремя сглаживающими весовыми коэффициентами, обозначаемыми в разд. 11.4 через .

Давая математически точную постановку задачи, будем считать, что для любого у в интервале величина обозначает множество номеров элементов изображения, имеющих общую сторону с элементом изображения, и пусть обозначает множество номеров элементов изображения, имеющих только одну общую вершину с элементом изображения при разбиении изображения. Если обозначить через вектор изображения перед сглаживанием, а через тот же вектор после сглаживания, то получим

где матрица размерностью элемент к которой определяется следующим образом:

Подобным образом определенная матрица называется базисной сглаживающей матрицей, связанной с системой сглаживающих весовых коэффициентов Отметим, что базисная сглаживающая матрица симметрична.

Частным случаем, который приводит нас к понятию базисной сглаживающей матрицы, является байесовский критерий оптимальности, представленный в форме (6.33). При этом ковариационная матрица, связанная с априорным распределением вероятности [соотношение (6.31)]. Если выборки X представляют собой векторы изображения, разумно предположить, что компоненты не коррелируют между собой, если соответствующие элементы изображения не имеют по крайней мере общих сторон или вершин, а также что ковариация определяются тем, имеют ли упомянутые элементы изображения общие стороны или вершины. При этом становится ясно, что базисная сглаживающая матрица.

Другим связанным с введенным выше понятием сглаживающей матрицы, также используемым при реконструкции изображения, является понятие модифицированной сглаживающей матрицы, к определению которой мы переходим.

Пусть множество номеров элементов изображения, не лежащих на краю изображения, дискретиэированного на элементов изображения. Пусть также будет диагональной матрицей из элементов, элемент которой определяется как

Очевидно, что если вектор изображения, то также вектор изображения, характеризующий, как и дискретизированное изображение, за исключением того, что плотности элементов изображения на его краю равны нулю. Матрица называется модифицированной сглаживающей матрицей, связанной с системой весовых коэффициентов если справедливо равенство

где базисная сглаживающая матрица, связанная с той же системой весовых коэффициентов

Рассмотрим пример использования модифицированной сглаживающей матрицы для целей реконструкции изображений. Предположим, что требуется получить решение задачи о дискретной реконструкции изображения, в котором значения относящиеся к соседним элементам изображения, в среднем близки друг другу. Математически данное условие сводится к требованию, чтобы величина суммы вида

была бы наименьшей из возможных, где

при т.е. множество номеров элементов изображения, граничащих с элементом изображения.

Пусть — базисная сглаживающая матрица, связанная с системой весовых коэффициентов вида 1, —1/8, —1/8, и пусть также означает транспозицию строки матрицы Нетрудно проверить, что

Таким образом,

где

До сих пор мы стремились показать, что процедура минимизации суммы (12.38) фактически сводится к минимизации квадратичной формы Очевидно, что матрица В симметрична и, учитывая соотношение (12.41),

неотрицательно определенная. Теперь покажем, что В является также и модифицированной сглаживающей матрицей.

Определим матрицу с помощью соотношения вида

где базисная сглаживающая матрица, связанная с системой весовых коэффициентов вида диагональная матрица, определенная выражением (12.36). При этом элемент матрицы имеет вид

Следовательно, элемент матрицы равен

где есть элемент матрицы В. Последнее доказывает, что матрица

является модифицированной сглаживающей матрицей, связанной с системой весовых коэффициентов вида 1, —1/8, —1/8.

В общем случае перемножение -мерного вектора с матрицей из элементов требует 72 операций скалярного умножения. Однако если в качестве указанного вектора взят вектор изображения, связанный с его дискретизацией на элементов изображения а в качестве матрицы — сглаживающая матрица, то число потребных для вычисления значений операций скалярного умножения приблизительно равно где для базисной сглаживающей матрицы и для модифицированной сглаживающей матрицы, в чем легко убедиться из рассмотрения процедуры сглаживания, описываемой соотношением (11.45).

В наших задачах, где обычно число требования к объему вычислений существенно различаются в зависимости от того, является ли матрицей общего вида или же сглаживающей матрицей. Анализируя приведенную в разд. 12.1 таблицу, можно уяснить целесообразность введения предположения о том, что обе матрицы фигурирующие в соотношении (12.5), являются сглаживающими.