8.6. ВЫБОР СВОРАЧИВАЮЩЕЙ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЙ

Как уже указывалось, соотношения (8.41) — (8.44) дают нам возможность производить выбор сворачивающей и интерполяционной функций. Предполагается, что функция аппроксимирует свертку Согласно теореме свертки (разд. 8.4), фурье-образ свертки равен произведению фурье-образов функций . С другой стороны, фурье-образ функции в выражении (8.44) представлен произведением следующих трех функций: функции зависящей от проекций функции зависящей от вида сворачивающей функции наконец, функции зависящей от интерполяционной функции Грубо говоря, мы отождествляем функцию с функцией с а функции ставим в соответствие функцию, величина которой всегда порядка единицы. Взаимная связь между упомянутыми тремя парами функций также важна, особенно в связи с тем, что поставленная задача оказывается практически неосуществимой. Рассмотрим функции по отдельности.

Фигурирующая в выражении (8.41) функция является периодической функцией с периодом (Напомним, что шаг дискретизации по переменной или, другими словами, расстояние между параллельными лучами, вдоль которых ведут измерение лучевых сумм). Если проекционные данные изменяются достаточно медленно в пределах области дискретизации, то можно считать, что значения достаточно малы при (другими словами, считаются малыми амплитуды высокочастотных гармоник функций в фурье-обраэе функции Тогда при получаем соотношение вида

которое позволяет идентифицировать функции Однако очевидно, что соотношение (8.45) не имеет силы при поскольку функция вне интервала просто периодически повторяет значения, которые она принимала на самом интервале. Между тем фурье-образ от проекции этим свойством не обладает. Отсюда следует, что если

Рис. 8.4. Эффект возникновения ложных спектральных составляющих. Периодическая функция с периодом 2 или с пространственной частотой 1/2 (вверху) выбирается с интервалом выборки 1,3. Интерполяция по ближайшим значениям дает функцию с периодом , или с частотой 1/6 (внизу).

функцию можно использовать для аппроксимации фурье-образа в интервале - то вне указанного интервала этого делать нельзя. Если мы предположим, что функция достаточно медленно изменяется в пределах интервала дискретизации, то разумной аппроксимацией при будет нулевое значение.

Весьма важным моментом при рассмотрении является следующий вопрос: если значения фурье-образа представляются малоинформативными при значениях то при этом возникают серьезные трудности, поскольку у нас отсутствует метод аппроксимации фурье-образа при больших значениях Более того, выражение (8.45) не имеет силы даже в интервале в чем можно убедиться из сравнения определения и выражения (8.45), поскольку при 0 величины отбрасывать нельзя. Таким образом, амплитуды высокочастотных компонент спектра при малых значениях влияют на величину . В результате возникают ложные частоты, показанные на рис. 8.4.

Явление возникновения ложных частот состоит в следующем: если мы производим выборку функции недостаточно подробно, то при этом теряется не только информация о высокочастотных компонентах в спектре исходных данных, но и искажаются его низкочастотные компоненты. Априорная информация (разд. 6.4) в этом случае может помочь восстановить утраченную информацию, однако в сверточном алгоритме использовать подобную информацию невозможно. Если мы не можем вести выборку чаще (конструкция аппарата обычно ограничивает ее частоту), мы должны смириться с тем, что реконструированнное изображение будет низкого качества, если проекции содержат интенсивные высокочастотные компоненты спектра.

Безусловно, представляется маловероятным, чтобы амплитудные вариации имели бы граничную частоту, в точности равную Уже отмечалось, что амплитуды гармоник на пространственных частотах, немного

Рис. 8.5. Амплитуды гармоник на частотах вблизи значений для спектра функции воздействуют на значения функции лишь вблизи тех же значений.

На данных рисунках как функция так и функция изображены для случая, когда они обе вещественны. На практике же функции могут быть комплексными, однако их модули будут иметь вид, представленный на рисунке.

больших достаточно малы, но в общем-то не столь уж несущественны. В этом случае эффект возникновения ложных частот не оказывает влияния на амплитуды гармоник на пространственных частотах, гораздо меньших (рис. 8.5). Таким образом, мы оказываемся в достаточно типичной промежуточной ситуации — между идеальным, но недостижимым на практике случаем ограниченных по пространственной частоте проекций с шириной полосы с одной стороны, и полностью безнадежным случаем, когда спектр частот большой интенсивности простирается вплоть до частот с другой. В этом случае функция достаточно хорошо аппроксимирует фурье-образ при малых значениях однако качество аппроксимации ухудшается по мере приближения к частоте становясь совершенно неприемлемым при больших частотах.

При рассмотрении функции необходимо принять во внимание еще один аспект, а именно вопрос об аппроксимации фурье-образа Поскольку мы рассматриваем данные, получаемые в процессе физического эксперимента, значения аппроксимируют лишь величины радоновского образа функции изображения которое нам необходимо реконструировать.

Можно записать функцию в виде

где

Из определения преобразования Фурье (8.27) следует, что для всех справедливо соотношение

Поскольку представляет собой шум, содержащийся в исходных данных, то можно рассматривать амплитуду шума на частоте как выборку случайного процесса (гл. 3, особенно разд. 3.1), причем ожидаемая величина этой выборки примерно одинакова на всех частотах . С другой стороны, для достаточно плавной функции величина становится малой при стремлении в частоте Следовательно, величины вблизи частоты как правило, обусловлены в большей степени действием шумов, чем преобразованием Радона реконструируемой функции. Этот фахт также повлиял на введенное выше разделение функций на сворачивающую и интерполяционную.

Вид функции изображен на рис. 8.6, на котором представлена зависимость для угла и стандартных проекций, полученных в параллельном пучке Оказывается, что функция определяемая формулой (8.42), связана с функцией соотношениями того же вида, что и функции однако в первом случае ситуация гораздо проще, поскольку функцию можно выбрать по своему усмотрению.

В первом приближении функцию можно выбрать постоянной величиной на полосе частот, не превышающей величины Если это условие выполнено, то при имеем тождество для вида

а не аппроксимированные значения для по формуле (8.45).

Анализ, проведенный в разд. 8.4, показывает, что сворачивающая функция (рассматриваемая не с точки зрения проблемы регуляризации, изложенной в разд. 8.1 и 8.2) действительно ограничена по частоте. В самом деле, фурье-образ является функцией, определяемой соотношением (8.31). Если мы выбираем величину А, не превышающую то тождество (8.49) справедливо.

Теперь мы должны разрешить дилемму следующего рода: ранее в методе регуляризации предполагалось, что величина А должна быть по возможности большой, то теперь говорим об ее уменьшении до величины . Это противоречие возникло потому, что мы говорим о двух различных аспектах

Рис. 8.6. Графих функции для стандартных проекций и угла Поскольку шаг между отсчетами , то значение чуть меньше 3,33. Вне интервала пространственны частот функция периодически повторяет свои значения, принимаемые ей на интервале пространственных частот от до

проблемы. С математической точки зрения желателен выбор большого значения А, с практической же точки зрения, оказывается, необходимо, чтобы величина А, наоборот, не превышала Функция является одним из сомножителей в выражении, содержащем и функцию о которой известно, что она абсолютно непригодна для аппроксимации функции при однако мы можем сделать так, что функция окажется пригодной для упомянутых величин . С другой стороны, полагая равной фурье-образу на интервале мы делаем вторую аппроксимацию с точностью, максимально возможной на данном интервале.

Оказывается также, что нет оснований выбирать А отличной от значения которое является наибольшим из возможных значений, учитывая рассмотренные выше ограничения. Следовательно, необходимо основываться на методе регуляризации. Обычно значения кратные легко вычисляются, если задано в виде где

[формула (8.31) и рис. 8.3, в особенности ограниченную по частоте функцию «окна»]. Окончательно, если для некоторого семейства функций «окна» выбор величины А в виде представляется идеальным, то, вероятно, существует и другое семейство функций «окна» , такое, что Таким образом, в дальнейшем мы будем предполагать, что ширина полосы частот функции «окна» обратно пропорциональна шагу между отсчетами.

Предполагая, что замечание о соответствии функций остается в силе определяется формулой (8.31)], мы тем самым оставляем открытым вопрос о выборе функции «окна» Метод регуляризации, изложенный в разд. 8.4, показывает, что для рассмотренных семейств функций «окна» оптимальная предельная величина дается выражением Можно, таким образом, показать, что ограниченная по частоте функция «окна», которая получается при подстановке в его идеального значения в диапазоне до может оказаться наилучшей. Однако в методе регуляризации используется предположение об идеальных исходных данных. Как было видно из приведенного выше анализа свойств функции ее значения вблизи пороговой величины могут быть неточными, что и учитывается в методе регуляризации; кроме того, поскольку в этом случае мы будем полагать функция будет умножаться на причем в качестве берется наибольшее из минимально возможных значений функции.

Из всего сказанного можно сделать следующий вывод. Если набор исходных данных достаточно «хорош», а фурье-образ достаточно точно ограничен по частоте величиной то достаточно выбрать таким, чтобы равенство было справедливо в диапазоне пространственных частот Однако если исходные данные сильно зашумлены или возникают ложные частоты на пространственных частотах вблизи значения то выбор функции с малым значением вблизи представляется наиболее разумным для получения хороших результатов, поскольку это исключает дальнейшее перемножение искаженных амплитуд гармоник на пространственных частотах вблизи с относительно большими значениями Точный выбор фильтра должен зависеть от схемы получения исходных данных и типа реконструируемого объекта.

Теперь мы подошли к рассмотрению функции . В идеальных условиях она везде имеет величину порядка единицы, однако на практике при выборе функции необходимо учитывать различные факторы. Мы предполагали, что произведение приближенно равно нулю при Однако как так и являются периодическими функциями с периодом и таким образом, при маловероятно, что их произведение было близко к нулю. Функцию можно использовать в качестве средства коррекции спектра, и при этом желательно выбирать величину достаточно малой при Даже при нежелательно иметь функцию порядка единицы, поскольку функции можно использовать для подавления искаженных значений

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

функции на пространственных частотах порядка Следовательно, оптимальная функция это функция, равная единице в начале координат, спадающая до величины и близкая к нулю за пределами значения .

На рис. 8.7 приведен график функции для случая интерполяции по ближайшим значениям и для метода линейной интерполяции. С учетом сделанных замечаний не вызывает удивления тот факт, что линейная интерпретация обычно дает лучшую реконструкцию, чем метод интерполяции по ближайшим значениям.

Проиллюстрируем приведенное выше рассмотрение реконструированными изображениями, полученными с использованием стандартных проекций в параллельном пучке. Дополнительный анализ сворачивающей функции будет приведен в разд. 10.2.

На рис. 8.8 представлены результаты реконструкции с использованием линейной интерполяции и функции обобщенного «окна» Хэмминга при различных значениях параметра а. Случай соответствует прямоугольной функции «окна», ограниченной по частоте; при этом подавления пространственных частот вблизи не происходит. Случай представляет другой крайний случай, соответствующий «окну» Хэмминга. При имеет место промежуточный случай. Отметим, что меньшим значениям а соответствуют изображения, воспринимаемые как более равномерные (за счет подавления высокочастотных гармоник), однако при этом на изображении в шумах можно не заметить опухоль. На рис. 8.9 построено распределение значений плотности вдоль 63-го столбца, а в табл. 8.2 приведены данные по измерению расстояний по реконструированному изображению и по времени вычислений.

На рис. 8.10 и 8.11, а также в табл. 8.3 дано сравнение методов интерполяции (линейной и по соседним значениям) при фильтрации фильтром Хэмминга с Из обоих рисунков видно, что первый метод интерполяции заметно превосходит второй, однако измерения расстояний по изображению, наоборот, свидетельствуют о преимуществах способа интерполяции

Таблица 8.3 (см. скан) Мера расстояния между изображениями для реконструированных изображений рис. 8.10

(кликните для просмотра скана)

по соседним значениям. Причина состоит в том, что оба эти измерения сильно зависят от точности реконструкции черепа. Линейная интерполяция обеспечивает меньшую точность, чем метод интерполяции по соседним значениям в области изображения, занимаемой черепом, однако в области, расположенной внутри черепа, ситуация обратная. Эти выводы — яркий пример специфических особенностей реконструктивной томографии, а именно надлежащий выбор оптимальных значений свободных параметров зависит от того, какую информацию требуется извлечь из реконструированного изображения. Третий пример в приведенной серии изображений представляет собой копию стандартной реконструкции по методу, использующему линейную интерполяцию в сочетании с нелинейным сглаживанием . Данная процедура обработки изображений будет рассмотрена в разд. 11.4.