16.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕЛЬЗЯ ОДНОЗНАЧНО ПРЕДСТАВИТЬ КОНЕЧНЫМ НАБОРОМ ЕГО РАКУРСОВ

В предыдущем разделе было показано, что в случае, когда функция изображения непрерывна, она единственным образом определяется своим радоновским образом Однако на практике при реконструкции изображений мы можем использовать только оценки в конечном числе значений Ниже будет показано, что конечность массива исходных данных сама по себе является источником принципиальной неоднозначности. Докажем это.

Пусть положительные целые числа, произвольные различные точки в кадре изображения произвольные вещественные числа; тогда существует такая непрерывная функция изображения что при

а также при и для всех имеем

Ценность полученного результата состоит в следующем. Для каждой произвольной непрерывной функции изображения существует другая такая непрерывная функция изображения , что функции имеют одни и те же значения интегралов вдоль всех линий, принадлежащих семейству эквидистантных по углу направлений. Кроме того, функции могут отличаться друг от друга произвольно в каждой из точек, принадлежащих произвольно большому конечному множеству точек. Вначале докажем эти положения, а затем обсудим их практическую значимость.

В качестве предварительного результата докажем следующее.

Пусть положительное целое число, б — произвольное вещественное число, для которого а величина определяет сторону квадрата кадра изображения (разд. 6.1). Пусть также функция, определяемая следующим образом:

Тогда для всех значений и при имеем

Чтобы убедиться в справедливости полученных выражений, обратимся к приведенному ранее определению преобразования Радона [формула (6.4)]. Рассмотрим сначала случай, когда при этом

при (16.36)

Легко заметить, что при условии подынтегральное выражение в (16.36) является нечетной функцией т.е. его величина изменяет свой знак при замене на и поэтому данный интеграл также равен нулю.

Окончательно при условии и с использованием определения (16.34) получаем

и, таким образом, справедливость равенства (16.35) доказана для всех значений .

Теперь отметим, что непрерывная функция изображения и

Более того, операции умножения координат на постоянную величину при изменении масштаба и (или) их трансляции не сказывается на свойствах функции определяемой равенством (16.33). Следовательно, выбирая величину достаточно малой, можно определить непрерывную функцию изображения удовлетворяющую условиям (16.32) и (16.33) и являющуюся суммой из К измененных по масштабу и сдвинутых функций

На первый взгляд может показаться, что доказанное отрицает возможность построения реконструкции при наличии конечного набора ракурсов, однако такой вывод противоречил бы уже практическим примерам успешной реконструкции изображений по конечному набору ракурсов.

Разрешение указанных противоречий между теорией и практикой лежит на пути исследования свойств функции определенной с помощью соотношения (16.34). Видно, что при больших значениях функция быстро осциллирует: в круговой области с радиусом она описывается гармонической функцией с частотой или, что эквивалентно, функцией с периодом Если величину выбрать настолько большой, чтобы в интересующих нас объектах отсутствовали бы области столь сильных пространственных осцилляций или же они присутствовали, но мы не стремились бы их воспроизвести, то существовало бы основание предполагать, что с помощью использованных алгоритмов можно выбрать из бесконечности множества возможных решений единственное, которое совпадает с реально наблюдаемым изображением. В частности, если требуется тождественность реконструированного и исходного изображений только после их частичного размытия, которое выполняется, например, путем многократного применения к ним сглаживающей матрицы согласно разд. 12.3 или, что предпочтительней, путем соответствующих непрерывных преобразований, то наложение функции не приведет ни к каким значениям, поскольку «размытые» функции неразличимы между собой. Аналогичные соображения можно высказать и по отношению к другим математическим выводам относительно невозможности реконструкции изображения по конечному набору ракурсов (см. примечания и ссылки в конце настоящей главы).