10. Алгоритмы реконструкции сверточного типа для веерных пучков

В противоположность схеме регистрации исходных данных в параллельном пучке здесь данные регистрируются таким образом, что они естественным образом распадаются на подмножество лучей, исходящих из одной точки, и на каждом из них вычисляется лучевая сумма. Стандартные проекции являются данными того же типа.

Существует два основных подхода к разработке сверточных алгоритмов для данных, полученных в веерном пучке. Первый из них состоит в нахождении способа получения соотношения типа свертки для алгоритма обращения по Радону, пригодного для использования для случая веерного пучка. Во вторюм подходе используется интерполяция значений в координатном -прюстранстве для вычисления лучевых сумм на множестве параллельных лучей по измеренным лучевым суммам на веерных лучах (этот процесс интерполяции называется повторным разбиением), а затем применяется уже описанный сверточный алгоритм для параллельного пучка.

В данном разделе обсуждаются оба эти подхода. Здесь мы также вернемся к вопросу о выборе функции «окна», на этом раз применительно к сверточному алгоритму для веерного пучка.

10.1. СВЕРТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ВЕЕРНОГО ПУЧКА

Геометрия схемы регистрации исходных данных, которая будет рассмотрена, изображена на рис. 10.1. Источник рентгеновских лучей постоянно находится на окружности радиусом с центром в начале координат, а детекторы располагают на полоске, имеющей форму дуги окружности с центром в источнике. Можно считать, что каждый луч является одним из множества расходящихся лучей с индексами где величина определяет положение источника, а параметр а характеризует рассматриваемый нами исходящей из источника луч. Подобное обозначение линий отличается от ранее использованного обозначения в (в частности, на рис. 2.8). Безусловно, каждому лучу с параметрами соответствует луч с параметрами , причем зависят от Действительно, как легко видеть из рис. 10.1, лучу с координатами соответствует точка с координатами в -пространстве.

Как принято в этой книге, функция двух полярных координат обозначает искомую реконструируемую функцию. Напомним, что функция

Рис. 10.1. Геометрия системы регистрации исходных данных в веерном пучке. Каждый луч пучка характеризуется двумя параметрами Пусть точка О совмещена с началом координат, а точка с источником рентгеновски лучей, который всегда находится на окружности радиусом с центром в точке О. При этом угол равен углу между отрезком и осью угол между рассматриваемым лучом и отрезком Луч является одним из лучей, также составляющих систему параллельных линий. Аналогично можно определить и параметры луча Пусть точка пересечения рассматриваемого луча с перпендикуляром, опушенным из начала координат О на луч. При этом — угол между отрезком и осью длина перпендикуляра (Воспроизведено из работы [70] с согласия автора.)

при Предположим, что кроме того, где

Для обозначения интеграла от функции вдоль луча с введем величину

что следует из соотношения (10.1), если при .

Предположим, что у нас имеются все возможные проекции в интервале значений Можно показать, что формула обращения Радона приводит к следующему соотношению: если обе производные функции по переменным существуют и обозначаются через соответственно, то справедливо равенство

где

и

Отметим, что величины зависят от но не от а. Геометрический смысл состоит в следующем: если источник располагается под углом то лучи, которые идут по направлению имеют параметры , а расстояние между источником и направлением, определяемым равно

Отметим также, что формула (10.3), называется формулой обращения Радона для веерного пучка, предстает в форме сингулярного интеграла, причем внутренний интеграл представляет собой в чистом виде преобразование Гильберта функции по переменной а. Следовательно, приведенный в разд. 8.1 анализ применим и в данном случае.

Предположим, что рассматриваемая как функция переменной а, достаточно «хорошая» в точке . Тогда при произвольном выборе множества удовлетворяющего условиям формулы (8.10), получаем семейство регуляризирующих функций таких, что выражение (10.3) можно записать в форме

[формулы (8.9) и (8.10)]. Преимущество перехода от записи (10.3) к (10.7) состоит в том, что при любом значении А внутренний интеграл в выражении (10.7) легко вычисляется методом интегрирования по частям. Обозна аппроксимированное значение функции при фиксированном А через т.е.

Выбирая некоторую функцию в качестве регуляризирующей, подставляя значение в соотношение (10.8) и интегрируя по частям (при этом функция считается дифференцируемой [формула (8.14)], получим при

где

и

Выражения (10.10) и (10.11) дают предельные значения величин при и — 0. (Часть громоздких выкладок при выводе была опущена.) Уравнение (10.9) дает формулу реконструкции изображения для сверточного алгоритма для веерного пучка.

Таким образом, мы получили далеко не простой алгоритм реконструкции сверточного типа для веерной конфигурации рентгеновского пучка. При этом необходимо, во-первых, выбрать семейство функций «окна» во-вторых, установить величину А. Как только такой выбор будет сделан, можно найти сворачивающие функции согласно формулам (10.10), (10.11) и получить аппроксимацию для функции по формуле (10.9).

До сих пор для простоты анализа предполагалось, что проекции существуют при всех возможных значениях параметров , тогда как на практике мы имеем лишь конечное число положений источника, а для каждого из них — конечное число регистрируемых детекторами точек. Как показано на рис. 5.2, проекции регистрируются в -равноотстоящих по точках с шагом по углу , а для каждой проекции ее значения выбираются в -равноотстоящих по углу точках с шагом Таким образом, величина известна в точках с угловыми координатами в интервалах значений — причем Стандартные проекции получаются именно этим способом (разд. 5.2). Даже несмотря на то, что проекции представляют собой оценки полученные в результате эксперимента, мы используем те же обозначения для этих оценок в оставшейся части главы.

Аналогично сверточному алгоритму для параллельного пучка вычисление по формуле (10.9) проводится в два этапа.

Вначале с помощью представления интеграла в виде интегральной суммы по переменной а, умноженной на X, вычисляется внутренний интеграл в выражении (10.9), в результате чего получаем соотношение вида

которое соответствует формуле (8.23). Заметим, что первая сумма представляет собой дискретную свертку функции и исходной проекции, взвешенную с функцией косинуса, а вторая — просто дискретную свертку функции с той же проекцией.

Далее, заменив внешний интеграл конечной суммой, получим

где определяются из соотношений (10.5) и (10.6) при замене в них на Вычисления по формуле (10.13) включают в себя интерполяцию вычисленных значений по значениям Назначение операции интерполяции уже детально обсуждалось в разд. 8.5. Заметим, что последнее выражение можно интерпретировать как операцию «взвешенного обратного проецирования». В данной точке с координатами и при данном положении источника луч с параметрами соответствует именно тому лучу, который проходит через Источник в точку Вклад сворачиваемой лучевой суммы в величину в точке с координатами через которую проходит луч, обратно пропорционален квадрату расстояния между точкой с и источником с

Реализация данного алгоритма на ЭВМ такая же, что и при использовании сверточного алгоритма для параллельного пучка, что следует из соотношений (8.24) и (8.25), поэтому этот вопрос повторно рассматриваться не будет, а внимание читателя будет остановлено на выборе функции «окна».