16.8. СХОДИМОСТЬ РЕЛАКСАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ

Ниже мы приведем доказательство того, что алгоритм, описываемый выражениями (11.8) — (11.10), обеспечивает сходимость решения к элементу определяемому в соответствии с выражениями (11.6) и (11.7).

Следуя методике гл. 11, предположим, что при Обозначения, использованные в разд. 11.2, будут применяться без последующих повторных итераций.

Пусть k — неотрицательное целое число, такое, что тогда

Пусть также произвольный вектор, принадлежащий множеству Используя положительность а также тот факт, что получим

Комбиниоуя два последних выражения, имеем

из чего вытекает, что

Следовательно, (16.77)

Неравенство (16.78) было доказано в предположении, что однако если то и условие (16.78) элементарным образом удовлетворяется.

Из соотношения (11.10) получаем, что

и поэтому последовательность при никогда не возрастает. Поскольку последовательность ограничена снизу, то существует, и, следовательно, неравенства (16.78) и (16.79) предполагают, что

Мы также получаем, что последовательность ограничена.

Из ограниченности последовательности следует, что существует по крайней мере одна бесконечная последовательность, сходящаяся к некоторому вектору, например к у. Покажем, что вектор у принадлежит множеству и что у не зависит от вида последовательности, которая была взята при ее формировании. Этим доказательство будет закончено. Рассмотрим бесконечную последовательность которая сходится к вектору у. Пусть произвольное целое число, где Теперь покажем, что если выполняется неравенство

для любого Пусть

для произвольного значения существует такой элемент например элемент бесконечной подпоследовательности которая сходится к вектору у, так что

В силу условия (16.80) указанный элемент можно выбрать таким образом, чтобы Их для всех значений Существует такое значение для которого справедливо Для данного имеем

Если то из соотношения (16.74) следует, что

Если то последнее неравенство автоматически удовлетворяется. Используя неравенства (16.84) и (16.85), получаем

что доказывает неравенство (16.81). Поскольку при произвольном значении то получаем, что .

Предположим теперь, что существует другая последовательность, сходящаяся к вектору У. Как и раньше, можно показать, что Напомнив, что для любого предел существует, положим

Используя последовательность, которая сходится к вектору у, получим

а используя другую последовательность, получим

Следовательно, что завершает данное доказательство.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Разд. 16.1 и 16.2 основаны на работе [65].

Материал разд. 16.3 почти полностью совпадает с работой Радона [131]. Непрерывность функции необязательна для существования обратного преобразования Радона. Формулы обращения и соответствующие доказательства существуют для широкого класса функций (например, [111, 114, 154]). Возможно также (по крайней мере в принципе) обращение преобразования Радона, если оно известно лишь в части области существования функций (работы [42, 108, 123, 154], а также библиография к ним).

Существует более строгая формулировка вопросов, изложенных в разд. 16.4 (например, теорема 4.3 в работе [144]). Их выводы можно выразить следующей фразой: «Конечный набор радиограмм ничего не говорит нам в целом», однако это лишь достаточно перефразированный вариант точного математического утверждения авторов. В частности, предполагая, что все функции изображения ограничены одной и той же величиной (предположение достаточно разумное в реконструктивной томографии), это позволяет оценить погрешность сверточного алгоритма, которая не зависит от свойств изображения и стремится к нулю при увеличении числа ракурсов (например, [38]). Разрешение возникших противоречий может произойти по направлениям, намеченным в конце разд. 16.4 (см. также работу [95]).

Математическое ожидание и дисперсию натурального логарифма от усеченного пуассоновского распределения с большим значением параметра X можно вычислить стандартными методами теории вероятности, как это делается, например, в [126]. Обсуждение этого вопроса применительно к реконструктивной томографии содержится в приложении В работы [11], в котором также даны некоторые ссьлки на более ранние работы. Результаты, получаемые с помощью соотношений (16.45) и (16.46), можно найти также в работе [126] [см. выражение (4.4) гл. 9 этой работы]. Изложение материала разд. 16.6 основано на работе [65].

Анализ математических вопросов, рассмотренных в разд. 16.7, можно найти также, например, в книге [8]. Доказательство теоремы регуляризации дано по работе [29]. Сходимость релаксационных методов решения системы неравенств, анализируемая для общего случая (разд. 11.2), следует из результатов, полученных в [54]. Приведенное в книге доказательство сходимости основано на работе [84], в которой дана и некоторая дополнительная библиография.

Из последних работ, посвященных математическим аспектам и аспектам реконструктивной томографии, вышедшим на момент написания книги, читателю можно порекомендовать труды конференции «Математические аспекты реконструктивной томографии», проводившейся в г. Обервольфах (ФРГ) в феврале 1980 г. Книга вышла под редакцией Г. Т. Хермена и Ф. Наттерера в издательстве Springer-Verlag, и в ней, в частности, содержится статья Г. Т. Хермена и Д. Вебстера под названием «Поверхности органов в дискретном трехмерном пространстве», в которой уточняется и дается строгое математическое обоснование материала, использованного в гл. 15.

Иная методика изложения соответствующих математических разделов содержится в работе П. П. Б. Эджермонта, Г. Т. Хермена и А. Лента «Итерационные алгоритмы для больших линейных дискретных систем с приложением к проблеме реконструкции изображений» (технический отчет группы обработки медицинских изображений отдела вычислительной техники Университета штата Нью-Йорк, Буффало, Амхерст). В этой работе приведена единственная теорема (с доказательством), из которой непосредственно вытекает сходимость таких на первый взгляд различных итерационных процедур, как те, что изложены в гл. 11, 12 и 14 настоящей книги.