13.2. ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Наиболее существенный из полученных в данной главе результатов относится к выводу соотношения (13.31), которое позволяет привести матрицу к блочно-диагональному виду и которое известно как свойство ортогональности. Один из способов доказательства этого свойства состоит в следующем: для фиксированных значений и полагаем, что есть -мерный вектор с компонентами тогда соотношение (13.31) устанавливает, что если то векторы ортогональны при любых значениях (т.е. их скалярное произведение равно нулю).

Рассмотрим выражения (13.25), (13.32) и предположим, что сумма вида

также удовлетворяет условию ортогональности. Говоря более точно, будем предполагать, что всякий раз, как только значения суммы (13.33) отличны от нуля, если и . В случае когда последнее утверждение справедливо, матрицу можно считать диагональной, а нахождение обратной ей матрицы становится тривиальной задачей. В данном разделе будут рассмотрены способы выбора системы базисных изображений, которые обеспечивают получение подобных результатов.

К сожалению, требуемое для этого математическое описание выходит за рамки данной книги, поэтому ниже представлены лишь основные соображения. При рассмотрении данного вопроса мы будем придерживаться (насколько это возможно) плана изложения материала предыдущего раздела.

Предположим, что положительные целые числа, причем, как и раньше, V — номер пространственной гармоники, а смысл будет понятен ниже. Число базисных функций равно а величины (точнее, определяются по формуле (13.10). Опишем базисное изображение соотношением вида

где при величина определена выражением (13.13), и, кроме того,

где в свою очередь — полином степени. Для полноты картины приведем точную формулу для отбросим детали вывода, так как в книге это определение не используется. Имеем

Система базисных изображений (13.34) отличается от используемой в (13.11) системы лишь выбором радиальной составляющей. В соотношении (13.12) функция выбирается в форме «ящика» (прямоугольной функции), принимающей значения 1 в некоторой небольшой области и 0 вне ее. В то же время и по определению (13.35) является полиномом степени Хотя последнее утверждение приведено без доказательства, читатель, вероятно, знает о том, что любую функцию двух полярных координат, записанную в форме полинома степени от переменных можно представить в виде линейной комбинации трех базисных изображений для которых выполняется условие Другими словами, базисные изображения дают полиномиальную аппроксимацию функции изображения Полученные выводы свидетельствуют о том, что формируют систему базисных изображений, позволяющую аппроксимировать изображения произвольного вида.

В нашем случае одинаково важным является то, что радоновский образ функций обладает свойством ортогональности в случае, когда регистрация исходных данных производится по определенной программе. Этот вопрос рассмотрен ниже.

Для произвольного значения лежащего в интервале имеем

где для любых целых неотрицательных значений функция представляет собой полином Чебышева степени второго рода, определяемый выражением

Выражение (13.37) приведено без вывода, однако необходимо отметить, что запись полинома и в форме (13.36) была дана как следствие соотношения (13.37).

На первый взгляд неясно, почему упомянутое соотношение (13.37) является желательным и почему оно приводит к ортогональности векторов, однако

при анализе полинома (13.38) можно видеть, что при достаточно тщательном выборе величины правая часть выражения (13.37) может существенным образом упроститься.

Например, если в интервале выбрать

где величина определена формулой (13.26) при произвольном то

Вычисления по полученной формуле (13.40) для значений 0, задаваемых точно приводят нас к выражению (13.22), где определено в виде

Исходя из приведенных в предыдущем разделе соображений можно понять, что матрица имеет форму (13.2) при условии, что число ракурсов не меньше числа пространственных гармоник При условии что матрица в (13.2) имеет размеры каждый элемент которой задается соотношением (13.32), а величина соотношением (13.41).

Однако соотношение (13.32) можно существенно упростить, если в него подставить (13.41); тогда

Если теперь в формуле (13.29) положить то получим

при условии что Комбинируя выражения (13.42) и (13.43), получим

Анализируя результаты данного и предыдущего разделов главы, можно отметить следующее. Если исходные данные регистрируются вдоль лучей с параметрами где удовлетворяют соотношениям (13.39) и (13.6) соответственно, общее число лучей составляет базисных изображений (где ) заданы соотношениями (13.34), (13.35) и (13.13), и если то матрица является диагональной, а ее диагональные элементы равны (при

Здесь величины определены в соответствии с формулой (13.10). Теперь обсудим вопрос о том. насколько приемлем выбор значений по формуле (13.39).

Одна из возможностей состоит в выборе величины , равной — 72; при этом а в общем случае при — имеем

Поскольку величина с изменением в интервале сначала уменьшается, потом увеличивается, а затем вновь уменьшается, конфигурация лучей в пучке при одном ракурсе при первом рассмотрении недостаточно понятна. Для выяснения этого вопроса введем множество таких отрезков что

и

для причем множество значений эквивалентно множеству поэтому в символической форме записи имеем

Указанное множество отрезков определяется выражением

при Доказательство того, что величины обладают свойствами (13.47) и (13.48), достаточно очевидно и вытекает из элементарных свойств синусоиды. Замечая, что

нетрудно получить подстановкой что для справедлива формула

Из соотношений (13.46) и (13.52) получаем, что при условии имеем

где

Отметим, что если лежит в интервале то к также лежит в том же интервале. Справедливость записи (13.49) вытекает из свойства (13.49) и .

Таким образом, давая определение с помощью соотношения (13.46), мы получаем множество отрезков, достаточно хорошо покрывающих интервал значений . Действительно, из свойств синусоиды легко получить, что

откуда следует, что, несмотря на неравномерность выборочных точек на интервале , расстояние между двумя соседними точками нигде не превышает более чем в раз расстояние, которое можно получить при равномерной выборке и том же числе точек отсчета.

Если в какой-либо системе регистрации трудно получить выборочные значения для множества в соответствии с зависимостью (13.46), то зарегистрированные исходные данные можно подвергнуть операции повторного разбиения (разд. 10.5), так что и в этом случае можно применять метод, рассмотренный в данном разделе.

В частности, функционирование системы регистрации в режиме веерного пучка естественным образом приводит к выбору в соответствии с формулой (13.39). В этом режиме исходные данные регистрируются вдоль лучей с параметрами где (соотношение (10.20)]. Если величина X выбрана в соответствии с формулой вида

Для некоторых достаточно больших значений то видно, что для указанных лучей величины удовлетворяют выражениям (13.6) и (13.50) соответственно в предположении, что Другими

словами, если вообразить, что область реконструкции занимает всю внутреннюю часть круга, по которому движется источник (рис. 5.2), то величины необходимо выбирать так, как этого требует развитая выше теория.

Однако при этом нет необходимости использовать лучшее приближение, поскольку, во-первых, полагая мы теряем важную априорную информацию о том, что функция изображения обращается в нуль вне первоначальной малой области реконструкции. Во-вторых, возникает некоторая двусмысленность, обусловленная тем, что величины в формуле (13.56) и на рис. 5.2 выбраны неолкнаковыми. Используя для величины на рис. 5.2, видно, что Для применения алгоритма, описанного в настоящей главе, необходимо положить равным нулю лучевые суммы вдоль дополнительных лучей.