7. Алгоритмы обратного проецирования

Алгоритмы реконструкции с использованием только обратного проецирования в общем случае не позволяют получать такие же хорошие изображения, как и те, которые получают другими, более сложными алгоритмами реконструкции, рассматриваемыми в последующих главах. Алгоритмы обратного проецирювания изложены главным образом потому, что они позволяют понять сущность других алгоритмов реконструкции, в которые алгоритм обратного проецирования входит как необходимая часть более сложного алгоритма, как, например, алгоритмы с использованием преобразований и некоторые алгоритмы, основанные на разложении функции в ряд, а также потому, что через алгоритм обратного проецирования становятся ясными другие шаги в алгоритмах реконструкции.

7.1. НЕПРЕРЫВНОЕ ОБРАТНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Наипростейший алгоритм реконструкции состоит в том, что оценку плотности в любой точке находят путем сложения лучевых сумм для всех лучей, прюходящих через данную точку. Это — алгоритм суммирования или обратного проецирования.

Отметим, что традиционная томография (разд. 2.2), по существу, явля ется методом обратного прюецирювания. На рис. 2.4 линейное ослабление в точке А оценивают путем сложения (интегрирювания) суммарной плотности вдоль пути от до в течение времени Напомним, что всегда одна и та же точка на передвигающейся фотографической пластинке и поэтому А является единственной общей точкой для любых двух путей от до А, в различные моменты времени Все виды традиционной томографии, включая систему, в которой перемещение источника рентгеновского излучения и фотопластинки ведут вдоль осей координат, представляют собой трехмерную версию алгоритма обратного прюецирювания.

Как подрюбно было объяснено в разд. 6.2, по заданной функции двух переменных оператор обратного проецирювания производит другую функцию двух полярных переменных таким образом, что равно интегралу по в величин , где Для определенных величина равна расстоянию от начала координат до прямой проходящей через точку и

перпендикулярной прямой К, которая образует угол в с осью х (рис. 6.1). Если лучевая сумма, связанная с прямой то ясно, что математическая идеализация алгоритма суммирования, о котором было сказано в самом начале данного раздела, заключается в том, чтобы сопоставить проекционным данным оценку реконструкции .

Сначала рассмотрим основные возражения против использования такой процедуры в качестве алгоритма реконструкции, а затем (разд. 7.2) рассмотрим реализацию такой процедуры по конечным данным, с которыми приходится иметь дело на практике.

В разд. 6.2. было указано, что обратное преобразование Радона можно выполнить при помощи четырех последовательных операций: дифференцирования, преобразования Гильберта, обратного проецирования и нормировки. Использование для реконструкции только обратного проецирования мало обосновано и, по всей вероятности, должно приводить к размазыванию изображения. Для того чтобы понять, как возникает подобное размазывание, рассмотрим следующие наглядные рассуждения.

Допустим, что мы получили ряд проекций объекта, состоящего из единственной точки. Результатом реконструкции по этим проекциям методом суммирования будет объект в форме звезды с центром в начале координат (рис. 7.1). Давайте получим равномерно распределенные в пространстве проекции точки по всем направлениям. По мере увеличения числа проекций реконструкция по этим проекциям начнет все больше приближаться к распределению плотности, пропорциональной где расстояние от данной точки. Это связано с тем, что предельный случай суперпозиции ряда равномерно распределенных в пространстве прямых, имеющих общую точку, является эквивалентом вращения прямой вокруг этой точки. Статистический вес каждой точки равномерно распределяется при вращении на окружности длиной

Эти наглядные соображения указывают на то, что при любой реализации алгоритма обратного проецирования, вероятно, будет происходить размазывание четких деталей на реконструированном изображении. Однако, кроме этого, имеется еще одна, более фундаментальная физическая причина того, почему использование только одного этого алгоритма не может быть принято в реконструктивной томографии.

Для того чтобы понять эту причину, вспомним элементарную физику. Сущность данной причины состоит в том, что величина, получаемая при помощи алгоритма обратного проецирования, имеет ошибочную размерность. Относительное линейное ослабление рентгеновского излучения, получаемое в реконструктивной томографии, имеет размерность обратной длины. Это означает, что величина относительного линейного ослабления рентгеновского излучения обратно пропорциональна принятой единице длины, например либо либо . В противоположность этому лучевые суммы, имеющие смысл вероятностей, являются безразмерными. Результат суммирования лучевых сумм [или даже интегрирования по углу, см. выражение (6.14)] также будет безразмерной величиной.

Рис. 7.1. Реконструкция отдельной точки, полученная при помощи алгоритма обратного проецирования. Каждая прямая соответствует проекции данной точки в определенном направлении.

Поэтому результаты, которые получаются при помощи алгоритма обратного проецирования, не зависят от единицы длины, которые используются. Если была получена приемлемая оценка распределения относительного линейного ослабления, когда в качестве единиц длины был использован сантиметр, то возникнет ошибка в 100 раз, если в качестве единиц длины взять метр. В следующем разделе будет показано, что правильную размерность получают путем введения соответствующей нормировки.

Для того чтобы понять, что подобное возражение не возникает при использовании обратного преобразования Радона рассмотрим размерность выходных величин после каждой из последовательности операций, приведенных в выражении (6.16). Если безразмерно, то имеет размерность обратной длины [см. (6.11)]. Ни ни ни нормировка не изменяют этой размерности [см. (6.13) и (6.14)]. Следовательно, 1 имеет ту же размерность, что и которая является правильной размерностью относительного коэффициента линейного ослабления рентгеновского излучения.