8.7. В ЧЕМ ЖЕ ПРИЧИНА ПОПУЛЯРНОСТИ СВЕРТОЧНОГО АЛГОРИТМА?

Сверточный алгоритм наиболее широко используется при реконструкции изображений по исходным данным, получаемым в системе регистрации с параллельным пучком. Имеется много аргументов в пользу этого алгоритма.

Основное преимущество алгоритма — это простота вычислений. Как это было показано в разд. 8.3, затраты машинного времени и объем памяти с использованием сверточного алгоритма исключительно малы даже при работе на универсальных ЭВМ. Анализ показывает, что сравнительно просто построить специализированное вычислительное устройство, которое весьма эффективно реализует данный сверточный алгоритм. По исходным данным о каждом ракурсе могут независимо выполняться операции свертки и обратного проецирования для другого ракурса, а результирующее изображение представляет собой просто сумму подобным образом обработанных ракурсов. В существующих в настоящее время сканерах реконструкция большеформатных изображений (состоящих, например, из 512 х 512 элементов) осуществляется по многим (порядка 500) ракурсам в течение промежутка времени менее 1 мин.

Качество реконструкции в сверточном алгоритме в среднем практически такое же, как и у других алгоритмов, а часто даже превышает его. Это не означает, что не существует случаев, когда изображения более высокого качества получаются без помощи сверточного алгоритма, а с помощью других алгоритмов реконструкции, однако, когда имеется большое количество достаточно точных исходных данных (по-видимому, рентгеновскую томографию можно отнести к этой категории), сверточный алгоритм является наиболее эффективным по сравнению с другими алгорит мами.

Научная и техническая подготовка по физике и электротехнике у большинства специалистов, занимающихся разработкой томографической аппаратуры, также способствует распространению сверточного алгоритма. Тот анализ, который был проведен в последнем разделе главы с использованием

преобразования Фурье для пояснения влияния выбора вида функций хорошо понятен инженерам и научным работникам. На самом деле указанная «привычность» ведет к утверждениям типа «сверточный алгоритм предпочтительней алгоритма с разложением функции в ряд, поскольку соответствующий математический аппарат более понятен». Однако, на наш взгляд, эта причина популярности сверточного алгоритма не выдерживает критики. Дело в том, что теория, положенная нами в основу метода разложения в ряд, также «строга», как и теория, лежащая в основе сверточного и других алгоритмов реконструкции. Различные аспекты этой проблемы легче всего пояснить при рассмотрении других теорий: и хотя трудно объяснить поведение некоторых методов разложения в ряд на основе анализа Фурье, априорные знания легче учесть в методах разложения в ряд, чем в каком-либо другом преобразовании. К этому вопросу мы вернемся позднее.

В заключение отметим, что сверточный алгоритм приводит к эффективной реконструкции при сравнительно небольших затратах, и до тех пор, пока мы не будем располагать сведениями об эффективном использовании алгоритмов в других областях, наиболее приемлемым, по-видимому, будет применение одного из имеющихся алгоритмов, предназначенных для работы с параллельным пучком.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Математическая формулировка сверточного алгоритма для целей реконструкции изображений при регистрации данных в параллельном пучке впервые была предложена в [17]. В работе [135] был рассмотрен случай, учитывающий дискретный характер исходных данных. В обоих указанных подходах были использованы ограниченные по пространственной частоте функции «окна», как это было подробно сделано в доказательстве, предложенном в [78]. В работе [142] авторы предложили использовать функции «окна» с пропусканием, отличным от равномерно ограниченного по пространственной частоте; они были инициаторами применения функции «окна» в виде в сочетании с линейной интерполяцией. Термин «окно Хэмминга» был введен в работе [31]. Как было показано в [140], в частности, использование функции обобщенного «окна» Хэмминга эквивалентно ограничению по пространственной частоте исходных данных, сглаживаемых с помощью усреднения по трем точкам, что обсуждалось, например, в работе [142]. Исчерпывающий анализ функций «окна» был проведен в где впервые были корректно разделены сворачивающая и интерполяционная функции. Приведенное выше изложение данного вопроса в значительной степени вызвано воздействием именно этой работы.

Понятие о семействе регуляризующих функций в литературу по реконструкции изображений было введено в [77]. В настоящей книге был использован подход, предложенный в работе [29].

Точную формулировку теоремы о дифференцировании под знаком интеграла можно найти в любом учебнике по математическому анализу, например в [8].

Общее содержание материалов, посвященных преобразованию Фурье, дискретизации и интерполяции данных, легко можно найти в специальных монографиях по упомянутым вопросам, например в книге [15]. Рассмотрение функции «окна» различного вида можно найти в литературе по обработке сигналов, например в книге [130].

Примеры появляющихся при использовании сверточною алгоритма артефактов, связанных с наличием в исходных данных высокочастотных компонент пространственных частот, приведены в работе [83].

Имеется ряд публикаций, посвяшенных сравнению характеристик сверточного алгоритма с алгоритмами, основанными на разложении в ряд [78, 142].