8. Сверточный алгоритм реконструкции для параллельного пучка

Благодаря простоте своей реализации и высокой точности вычислений сверточный алгоритм реконструкции нашел наибольшее применение в реконструктивной томографии для параллельного пучка. Сверточный алгоритм представляет собой преобразование, в котором дифференцирование и преобразование Гильберта заменены одной операцией свертки.

8.1. СВЕРТКА, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА, РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Сверткой двух заданных функций вещественного переменного называется функция (также вещественного переменного) определяемая соотношением

Заметим, что при некоторых значениях параметра свертка не определена, поскольку интеграл в правой части (8.1) может не существовать, однахо, согласно сказанному выше, считаем, что свертка определена всюду, где это необходимо.

Отметим также, что свертка представляет собой оператор, который, воздействуя на две функции и образует новую функцию Нетрудно показать, что том смысле, что для всех значений имеет место равенство вида

Мы уже рассматривали пример свертки, а именно: преобразование Гильберта функции можно определить как свертку с функцией вида

Другими словами, можно записать выражение

причем функция определена формулой (8.3). Комбинируя соотношения

(8.1), (8.3) и (8.4), получим

Выражение в правой части (8.5) представляет собой так называемый несобственный интеграл как первого, так и второго рода. Интегралом первого рода последний считается потому, что пределы интегрирования в нем бесконечны (от до ), однако при реконструкции изображения это не должно смущать нас, поскольку значения функции обращаются в нуль вне конечной области, что можно видеть из сравнения выражений (8.5) и (6.12). Видно также, что при реконструкции изображения преобразование Гильберта выполняется для функции при фиксированном значении в и при причем

[формулы (6.6), (6.11), (6.12)].

Интеграл в правой части выражения (8.5) является также несобственным интегралом второго рода, поскольку при подынтегральное выражение расходится. Здесь мы будем понимать интеграл (8.5) в смысле его главного значения, т.е.

Даже если указанный интеграл и существует, вычислить его далеко не так просто. Одним из методов его вычисления является метод регуляризации, который предполагает определение множества функций вещественного переменного (где индекс А — положительное вещественное число). Идея по существу состоит в том, что функцию для интересующей нас функции подбирают такой, чтобы выполнялось равенство вида

Тогда для произвольного фиксированного значения А вычисление свертки в левой части выражения (8.8) производится достаточно просто.

Для более точного выбора функции необходимо определить класс функций, для которого справедливо равенство (8.8). В разд. 16.7 точно определен смысл утверждения о том, что функция достаточно «хорошая» в точке , а пока мы просто можем считать «хорошей» во всех точках. Множество функций назовем семейством регуляризующих функций, если для любой функции вещественного переменного и любого вещественного значения при котором достаточно «хорошая», справедливо соотношение

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Численную оценку гильберт-образа теперь можно произвести путем вычисления свертки при значении А, выбранном достаточно большим, с тем чтобы левая и правая часть соотношения (8.9) были бы равны с приемлемой для наших задач точностью. Если функция обладает некоторыми дополнительными свойствами, например ограничена по величине, дифференцируема и т.д., то значение свертки можно найти достаточно просто. В частности, если производная некоторой другой функции, то значение можно вычислить методом интегрирования по частям, как это обычно делают на практике [формула (8.6)].

Предыдущий анализ основан на том, что семейство регуляризуюших функций существует. Как можно показать ниже и строго доказать в

Рис. 8.2. Графики функций соответствующие функциям «окна», изображенным на рис. 8.1. Ось и отмечена на графиках как ось расстояний, ось как ось величин. Отметим, что функция антисимметрична, т.е. (формула (8.10)).

(кликните для просмотра скана)

разд. 16.1, существует большое разнообразие упомянутых семейств. Это утверждение выражает следующая теорема регуляризации:

Пусть для каждого вещественного значения А существует вещественная интегрируемая функция удовлетворяющая при условиям:

(см. скан)

Пусть

Тогда множество является семейством регуляризующих функций.

По соображениям, которые станут понятными ниже, функцию обычно называют функцией «окна» с шириной полосы пропускания А.

Нетрудно получить семейство функций «окна», удовлетворяющих условиям «а» - «в». В табл. 8.1 приведены некоторые из них и даны их наиболее часто употребительные названия. Во всех случаях, согласно условию «а», определения справедливы лишь при поскольку при функция Заметим, что ограниченная по полосе частот функция «окна» представляет собой частный случай обобщенной функции «окна» Хэмминга при значении параметра Форма отдельных функций «окон» представлена на рис. 8.1, а соответствующие им функции на рис. 8.2.