11.4. НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ ПРИЕМЫ

Опыт применения алгебраических алгоритмов реконструкции показывает, что эффективность итерационных процедур при реконструкции изображений часто можно повысить посредством введения некоторых операций обработки векторов изображений между различными итерациями. Указанные операции в литературе получили название искусственных приемов («трюков»).

Рассмотрим подробнее итерационную процедуру в алгебраическом алгоритме реконструкций, которая описывается выражением (11.1). Пусть — функция, отображающая -мерные векторы в векторы той же размерности. Тогда метод итераций, применяемый к выражению (11.1) в сочетании с серией искусственных приемов тк, дает последовательность оценок определяемых как

Искусственные приемы особенно полезны, когда они сочетаются с априорной информацией о пространстве ожидаемых векторов изображений. Иногда эти приемы можно использовать для ускорения сходимости к величине вектора изображения, удовлетворяющего конкретным критериям оптимальности. В других случаях они действительно приводят к сходимости к вектору изображения без оптимизации конкретной функции, что тем не менее дает лучшие результаты с точки зрения меры расстояний между изображениями, рассмотренной в разд. 5.1. Последнее имеет место, например, в том случае, когда ожидаемые дискретные изображения обладают одним общим свойством, которое нельзя описать простой функцией, но которое

можно тем не менее выявить при использовании того или иного искусственного приема.

При последующем анализе эвристическое обоснование для всех используемых искусственных приемов будет основано на предположении, что базисное изображение дискретно и состоит из элизов и определено в соответствии с выражением (6.17).

Прием, который получил название селективное сглаживание, неоднократно использовался нами ранее. Во многих случаях изображения содержат области, в пределах которых значения с большой точностью можно считать постоянными, а также области со значительными вариациями этих же величин. Селективное сглаживание позволяет получать изображения такого типа следующим образом.

Пусть обозначают плотности изображения элизе и в его окрестности, как это показано на следующей матрице:

Пусть вещественные неотрицательные величины, называемые пороговыми значениями и сглаживающими весовыми коэффициентами соответственно. После селективного сглаживания плотность изображения в элизе будет равна

где

Если элиз находится на краю изображения и поэтому для некоторых величина не определена, то мы полагаем для соответствующих значений

На рис. 8.10 и 10.5 можно заметить эффект однократного применения процедуры селективного сглаживания (в предыдущих разделах именовавшейся нелинейным сглаживанием) к данным, полученным с помощью сверточного алгоритма для параллельного и веерного пучков соответственно. Данные табл. 8.3 и 10.2 показывают увеличение точности меры расстояний между изображениями при использовании рассмотренной процедуры. Во всех указанных экспериментах принималось и .

В тех случаях, когда данный прием применяется в сочетании с алгебраическими алгоритмами реконструкции, функции тк в выражении (11.44) для селективного сглаживания обычно берутся достаточно редко, например

лишь тогда, когда к становится кратным числу измерений Для остальных значений к функцию тк выбирают единичной, не изменяющей величины вектора изображения.

В противоположность этому искусственный прием ограничения обычно применяется в алгебраических алгоритмах на каждой итерации и оказывается оправданным в тех случаях, когда имеется априорная информация о диапазоне, внутри которого лежат компоненты допустимых векторов изображений. Например, линейный коэффициент поглощения всегда неотрицателен (при любой энергии), а в медицинской диагностике обычно можно предполагать, что этот коэффициент ограничен сверху величиной коэффициента поглощения плотной костной ткани.

Искусственный прием ограничения можно ввести в алгоритмы, использующие разложения в ряд, различными способами: либо в качестве составной части в систему неравенств (11.5), либо в качестве искусственного приема при проведении итераций.

Например, если нам известно, что при

то полезен следующий прием: положим

где при отсюда А при

Подобный прием легко может сочетаться с алгебраическими алгоритмами. Чтобы показать это, рассмотрим релаксационный метод решения системы неравенств. Последующий анализ показывает справедливость этого утверждения.

Если множество как это определено условием (11.7), содержит по меньшей мере один вектор компоненты которого удовлетворяют соотношению (11.47), то приводимый ниже алгоритм дает последовательность оценок которые сходятся к элементу множества элементы которого удовлетворяют соотношению (11.47), т.е.

где определяется в соответствии с соотношением (11.8) при значениях параметров удовлетворяющих (11.10), а определяется условием (11.48).

Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из сходимости релаксационного метода решения системы неравенств, поскольку множество векторов для которых выполняется условие (11.47), можно охарактеризовать следующим образом. Пусть при имеем

и

Тогда

Таким образом, множество векторов, удовлетворяющих условию (11.47), можно проанализировать точно так же, как и множество в разд. 11.2. Читатель легко может убедиться в том, что применение релаксационного метода для решения системы неравенств при замене множества на при выборе релаксационного параметра равным единице и начального вектора позволяет получить вектор тк за итераций, где тк определено соотношением (11.48). Таким образом, процедура ограничения в данном случае эквивалентна применению релаксационного метода к системе с большим числом неравенств. Этот вывод завершает рассмотрение вопроса о сходимости процедуры (11.50).

Существуют и другие разновидности процедуры ограничения, помимо описываемых соотношениями (11.48) и (11.49). Например, имеется способ определения таких ограничивающих функций тк, которые в сочетании с алгоритмом (11.41) обеспечивают сходимость к решению с минимальной нормой (11.40) и (11.47). Другой метод полезен в случае, когда заранее известно о наличии в изображении лишь двух различных уровней плотности (что имеет место в некоторых задачах неразрушающего контроля), и состоит в использовании функции тк, которая устанавливает величины равными либо одному, либо другому значению плотности.

Еще один искусственный прием, с которым мы уже познакомились в книге, — это операция нормировки, которая рассматривалась в разд. 7.2 в связи с алгоритмом обратного проецирования. Иногда оказывается, что многократное нормирование в процессе итераций ведет к повышению скорости сходимости к ожидаемой оценке в алгебраическом алгоритме реконструкции.

Несмотря на то что существуют и другие приемы, об использовании которых указано в литературе, данный раздел будет завершен рассмотрением четырех вопросов, связанных с упомянутыми искусственными приемами, хотя и отличающихся от них деталями.

Существенным параметром, доступным нам для варьирования в алгебраических алгоритмах реконструкции, является релаксационный параметр.

Выше отмечалось, что выбор небольшого значения релаксационного параметра, как установлено, оказывает положительное влияние на качество реконструированных изображений при использовании подобных алгоритмов (даже с использованием полученных в эксперименте данных), близких к алгебраическим алгоритмам реконструкции. Оказывается, что малое значение параметра релаксации (неполная релаксация) обусловливает уменьшение влияния погрешностей в уравнениях и предупреждает появление эффекта «соли и перца», часто наблюдаемого на реконструкциях, полученных алгебраическим алгоритмом при больших значениях параметра релаксации.

В отдельных случаях ограниченное использование метода при больших значениях релаксационного параметра все-таки желательно. Например, при решении системы неравенств это может существенно сократить вычисления, если всякий раз лишь слегка изменять параметр релаксации что будет проявляться в зеркальном отображении оценки перед итерацией относительно гиперплоскости, связанной с данным неравенством. Выборочное применение указанного метода зеркальных отображений может при определенных условиях гарантировать конечную сходимость.

Выбор начального приближения (оценки) оказывает большое влияние на конечный результат итерационной процедуры, особенно в случаях, когда вследствие ограниченности быстродействию и стоимости средств число итераций не может быть слишком большим. Например, значение в алгоритме (11.38) принимается равным На практике весьма затруднительно найти среднее значение многомерной случайной функции, описывающей реальное распределение в изображении. Вместо выходных данных, получаемых при помощи других алгоритмов (таких, как сверточный алгоритм или алгоритм обратного проецирования), в алгебраических алгоритмах необходимо использовать начальную оценку На практике чаще встречаются случаи построения изображений с однородной градацией яркостей, возможно, с рцененным значением средней плотности изображения (или даже нулевого уровня) в каждом элизе.

Изменение порядка следования неравенств (или равенств) в системе может также существенно влиять на реальные характеристики того или иного алгоритма. В такой системе регистрации исходных данных, как используемая нами стандартная конфигурация, оказывается целесообразным последовательно брать уравнения, описывающие лучи одного ракурса, а уже затем переходить к лучам ракурса, при котором направление на источник образует большой угол (например, в 60°) по сравнению с предыдущим его положением.