14.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ

Упомянутый выше частный подход состоит в минимизации нормы вектора ошибок по методу наименьших квадратов. Как показано в разд. 12.1,

наблюдаемый вектор изображения удовлетворяет системе нормальных уравнений вида Аналогично подходу, использованному нами в гл. 13, здесь мы также попытаемся выбрать такое множество базисных объектов и такую схему регистрации исходных данных, чтобы матрица имела относительно простую структуру. Используя результаты разд. 13.1, базисные объекты выбираем в соответствии с формулой (14.9), а схему регистрации — такой, чтобы лучи в каждом ракурсе могли быть получены путем вращения лучей одного ракурса относительно некоторого центра.

Говоря более точно, предположим, что источник занимает равноотстоящих друг от друга положений (на окружности радиусом в плоскости с координатами для положения источника. Заметим, что данную схему можно реализовать на пятой модификации сканера (рис. 3.3,д) лишь при вращении сканера как целого вокруг пациента. Для каждого из положений источника имеется набор лучей, вдоль которых будут зарегистрированы лучевые суммы. Для приведения в соответствие обозначений данной и предыдущих глав будем предполагать, что для каждого положения источника имеется значений лучевых сумм, пронумерованных в пределах от до Предположим также, что при условии имеется два угла для которых при луч от положения источника падает под углом к плоскости а проекция этого луча на плоскость составляет угол с отрезком, соединяющим положение источника с началом координат (рис. 14.1).

Теперь можно записать положение произвольной точки на луче ракурса в цилиндрической системе координат с помощью параметра пропорционального расстоянию вдоль луча. В точке значение I принимается равным нулю (рис. 14.1). Положение последней выбирается таким образом, чтобы линия, проведенная из начала координат перпендикулярно проекции луча на плоскость пересекала проекцию в точке которая является проекцией точки на ту же плоскость. Если положить

и

то видно, что точка имеет цилиндрические координаты а точка координаты Произвольная точка, отдаленная на расстояние от точки в направлении имеет следующие координаты:

Рис. 14.1. Схема регистрации исходных данных в конических рентгеновских пучках, формируемых источником, движущимся по окружности в плоскости положения источника. луч посылаемый с положения источника, составляет с плоскостью угол а проекция указанного луча плоскость составляет угол с отрезком , где — начало координат системы. Точки выбраны так, чтобы углы и были прямыми.

где величина определяется соотношением (13.16). Если теперь в соответствии с (14.7) и (13.8) присвоить индексы от 1 до всем лучам, то можно видеть, что при лучевая сумма для функции объекта является аппроксимацией для интегрального выражения вида

Если случайно функция является одним из базисных объектов, определяемых выражением (14.9), то вычисление интеграла (14.15) становится не более трудным, чем подынтегральной функции. Последнее обусловлено тем, что единственное, на что оказывают влияние фигурирующие в (14.9) функции это ограничение функции областью кольца, т.е. областью пространства, заключенной между плоскостями и между двумя цилиндрическими поверхностями и

Рис. 14.2. Базисная функция определенная в соответствии с (14.9), равна нулю вне кольцевого слоя высотой с и шириной положение которого показано на рисунке. Внутри кольцевого слоя указанная функция периодична по переменной 4. Прямоугольные координаты выбраны лишь для облегчения пространственного восприятия.

(рис. 14.2). При этом луч может либо вообще миновать указанное кольцо (при этом либо пересечь его по одному или двум линейным отрезкам.

В любом случае предположим, что множество значений параметра которое соответствует точкам луча, лежащего в пределах кольца, связанного с базисной функцией, т.е.

Присвоенные индексы указывают, что величина зависит от положения луча и не зависит от положения источника от (номера кольца, поперечного сечения) и от номера гармоники Отсутствие зависимости выражения (14.16) от безусловно, является прямым следствием используемой геометрии системы регистрации исходных данных. В указанных выше обозначениях можно записать, что

причем величина интеграла равна либо нулю (если множество пустое), либо значению интеграла с тем же подынтегральным выражением, взятого по одному или двум связанным интервалам значений

Используя известные формулы для косинуса и синуса суммы двух аргументов, получим

где

и

[ср. с выражениями (13.21) и (13.22)].

Из приведенных выше соотношений следует, что элемент матрицы в общем случае равен

[формула (13.25)].

Напомнив теперь приведенную в разд. 13.1 теорему ортогональности, и в частности соотношения (13.26) — (13.31), покажем, что если то справедливо равенство для

где определение величины дано после формулы (13.30). Последняя запись означает, что матрица имеет вид

где (при условии что ) являются матрицами размером Отметим, что матрица вида (14.23) не является блочно-диагональной и, как это теперь установлено, не может быть инвертирована так же просто, как в разд. 13.1. Рассмотрение вопроса о требуемых корректировках будет отложено до обсуждения смысла каждой из матриц .

При условии, что матрицу можно записать в виде

где при представляет собой матрицу размером элемент которой равен

В частности, из выражений (14.19) и (14.20) следует, что при .

Теперь рассмотрим определения и Ни и введенные выражениями (14.19) и (14.20). Если луч не входит в поперечное сечение (т.е. множество при является пустым), то обе величины и Ни равны нулю. Если значения таковы, что никакой из лучей не пересекает оба поперечных сечения, обозначенные индексами то Нетрудно найти такие значения очевидно, что если то ни один луч не может пересечь оба сечения (рис. 14.1 и 14.2).

В обшем Случае существует такое положительное целое число (которое обычно меньше ), что, каково бы ни было значение не существует такого луча, который пересекал бы оба поперечных сечения, обозначенных индексами Здесь и ранее подразумевалось, что

Матрицу рассмотренного выше вида будем называть блочно-полидиагональной. Хотя обращение блочно-полидиагональной матрицы выполнить не так просто, как в случае блочно-диагональной, тем не менее существуют алгоритмы обращения блочно-полидиагональных матриц, более быстрые, чем универсальные алгоритмы обращения.

Рассмотрим теперь матрицу в (14.23). При условии что матрицу можно записать в виде

где при она представляет собой матрицу размером элемент которой равен

Заметим, что из выражений (14.19) и (14.20) следует равенство при а также равенство Исходя из соображений, аналогичных приведенным после формулы (14.23), можно показать, что матрица также является полидиагональной.

В заключение отметим, что перестановкой элементов строк и столбцов матрицы (14.23) [что эквивалентно использованию иной схемы индексации

в матрице (14.8)] можно привести данную матрицу к блочно-диагональному виду с блоками, один из которых (а именно блок имеет размер а остальные (а именно различные комбинации блоков размер Кроме того, каждый из расположенных на диагонали блоков можно представить в блочно-полидиагональной матрице. Таким образом, можно получить решение системы нормальных уравнений, связанной с решением проблемы реконструкции изображений полного трехмерного объекта.

Подводя итоги сказанному, отметим, что путем соответствующей индексации базисных объектов, до некоторой степени отличающейся от использованной в выражении (14.8), матрица в нормальной системе уравнений становится блочно-диагональной с блоками Блок представляет собой блочно-полидиагональную матрицу в форме (14.24), состоящую из блоков определяемых согласно выражению (14.25). Блоки (при ) также являются блочно-полидиагональными матрицами вида

При имеем

где величины и определены выражениями (14.25) и (14.28) соответственно.

В частности, если то нулевая матрица [условие (14.26)].