6.3. АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ, ОСНОВАННЫЕ НА РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ В РЯД

Чтобы выполнить обратное преобразование Радона, были использованы методы математического анализа, о котрых шла речь в последнем разделе, посвященном решению проблемы реконструкции изображения. При этом обратное преобразование Радона описывается операторами над функциями, заданными на всем континиуме вещественных чисел. Для реализации обратного преобразования Радона на ЭВМ мы должны заменить непрерывные операторы дискретными, которые воздействуют на функции, имеющие конечное число компонент. Это выполняется в самом конце процедуры вывода алгоритма реконструкции.

Подход, основанный на разложении функции в ряд, принципиально иной. Дискретизацию здесь выполняют в самом начале: оценка функции сводится к нахождению конечного множества чисел. Это производится следующим образом.

Предположим, что мы зафиксировали набор базисных изображений их линейные комбинации приводят нас к адекватной аппроксимации любого изображения которое мы желаем реконструировать.

Примером такого подхода является -дискретизация, рассмотренная в разд. 4.1. В этом случае Мы нумеруем элементы изображения (элизы) от 1 до и определяем

Тогда -дискретизация изображения есть изображение которое определяется выражением

где среднее значение внутри элемента изображения, а краткое «стенографическое» обозначение, используемое нами для уравнений такого типа, имеет вид

Существуют и другие способы выбора базисных изображений; некоторые из них будут рассмотрены ниже. После того как базисные изображения выбраны, любую функцию можно представить в виде линейной комбинации базисных изображений однозначно определенным выбором коэффициентов как это показано в (6.18). Здесь мы используем для обозначения вектора-столбца, компонента которого есть и называем этот вектор вектором изображения.

Такой подход сводит проблему «вычисления функции изображения к более узкой проблеме «нахождения вектора изображения такого, что оценка , определяемая выражением (6.18), близка насколько позволяют выбранные базисные изображения. Чтобы выполнить это условие по возможности более точно, определим меру «близости» между двумя изображениями. Такое определение было дано в выражении (6.3).

Известное положение математического анализа позволяет сделать вывод о том, что независимо от того, как выбраны базисные изображения, для любого изображения существует одно и только одно изображение которое обладает следующими свойствами:

а) есть линейная комбинация базисных изображений;

б) если есть линейная комбинация базисных изображений, то

Более того, если базисные изображения выбраны так, что они являются линейно независимыми, т.е. ни одно из них нельзя выразить как линейную комбинацию других, то существует только единственный вектор, который приводит к определенной по (6.18).

Например, если базисные изображения определены выражением (6.17), то и -дискретизация равна удовлетворяющей условиям «а» и «б», а соответствующий вектор изображения является единственным.

В идеале метод разложения в ряд должен приводить к такому вектору изображения который наиболее близок к Но так как экспериментальные данные не определяют однозначно, то, как правило, ищут такой вектор изображения который удовлетворяет менее эффектному, но более

реальному критерию оптимизации. Такие критерии оптимизации будут рассмотрены в следующем разделе.

Для того чтобы показать, каким образом проблема реконструкции изображения превращается в дискретную задачу при помощи метода разложения функции в ряд, рассмотрим два свойства функционалов определенных выражением (6.8).

Первое свойство состоит в том, что эти функционалы являются линейными. Это означает, что для любых изображений при всех вещественных числах с, и и для имеет место соотношение

которое легко доказать, если использовать определения .

Другое свойство математически менее строго. Мы может утверждать, что «если близки друг к другу, то также близки . К сожалению, при использовании меры различия между функциями, которая определена в (6.3), математически строгая версия указанного утверждения не всегда является справедливой. Тем не менее, опираясь на определение можно показать, что если определена с учетом условий «а» и «б», то будет приблизительно такой же, как и Это свойство называется непрерывностью. Основная слабость метода разложения в ряд заключается в том, что сделанное выше предположение иногда сильно нарушается.

Объединяя указанные свойства вместе, можно показать, что для

Так как функции задаются пользователем, то, как правило, выражение можно легко вычислить аналитическими методами. Например, в случае, когда определяется выражением (6.17), равно длине отрезка прямой, проходящей от источника к детектору для положения такой пары через элемент изображения, или, более точно, прямой, находящейся на расстоянии от начала координат и составляющей угол с положительным направлением оси у; см. (6.8) и рис. 2.8. Следовательно,

Напомним еще раз, что у, мы используем для обозначения экспериментально измеряемой оценки

Комбинируя это с (6.21), получаем, что для

Пусть обозначает матрицу, элемент которой равен

Назовем эту матрицу проекционной матрицей. Пусть обозначает -мерный вектор-столбец, компонента которого равна разности между левой и правой частями выражения (6.23). Мы назовем его вектором погрешности. Тогда выражение (6.23) можно переписать в форме

Таким образом, метод, основанный на разложении функции в ряд, приводит к следующей дискретной задаче реконструкции: основываясь на (6.24), по данным значениям у оценить вектор изображения

Если оценка, которую мы берем в качестве решения поставленной выше дискретной реконструктивной задачи, есть вектор то оценка изображения, которое надо реконструировать, задается выражением

Из изложенного выше можно сделать следующее важное заключение. Наше обоснование метода, основанного на разложении функции в ряд, не нуждается в том, чтобы функционал определялся выражением (6.8). Требуется только, чтобы удовлетворял свойству, выраженному (6.21). Разные способы определения обладают указанным свойством: схемы с интегрированием вдоль кривых, а не вдоль прямых или даже по площадям, например полосам, а вдоль линий потенциально имеют прямое отношение к общей проблеме реконструкций. Главное достоинство метода с разложением функции в ряд по сравнению с алгоритмами, основанными на использовании преобразований, заключается в том, что их можно непосредственно применить к указанным более общим схемам получения экспериментальных данных.