Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.3. АЛГОРИТМЫ РЕКОНСТРУКЦИИ, ОСНОВАННЫЕ НА РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ В РЯДЧтобы выполнить обратное преобразование Радона, были использованы методы математического анализа, о котрых шла речь в последнем разделе, посвященном решению проблемы реконструкции изображения. При этом обратное преобразование Радона описывается операторами над функциями, заданными на всем континиуме вещественных чисел. Для реализации обратного преобразования Радона на ЭВМ мы должны заменить непрерывные операторы дискретными, которые воздействуют на функции, имеющие конечное число компонент. Это выполняется в самом конце процедуры вывода алгоритма реконструкции. Подход, основанный на разложении функции в ряд, принципиально иной. Дискретизацию здесь выполняют в самом начале: оценка функции сводится к нахождению конечного множества чисел. Это производится следующим образом. Предположим, что мы зафиксировали набор Примером такого подхода является
Тогда
где Существуют и другие способы выбора базисных изображений; некоторые из них будут рассмотрены ниже. После того как базисные изображения выбраны, любую функцию Такой подход сводит проблему «вычисления функции изображения Известное положение математического анализа позволяет сделать вывод о том, что независимо от того, как выбраны базисные изображения, для любого изображения а) б) если
Более того, если базисные изображения выбраны так, что они являются линейно независимыми, т.е. ни одно из них нельзя выразить как линейную комбинацию других, то существует только единственный вектор, который приводит к Например, если базисные изображения определены выражением (6.17), то и В идеале метод разложения в ряд должен приводить к такому вектору изображения реальному критерию оптимизации. Такие критерии оптимизации будут рассмотрены в следующем разделе. Для того чтобы показать, каким образом проблема реконструкции изображения превращается в дискретную задачу при помощи метода разложения функции в ряд, рассмотрим два свойства функционалов определенных выражением (6.8). Первое свойство состоит в том, что эти функционалы являются линейными. Это означает, что для любых изображений
которое легко доказать, если использовать определения Другое свойство математически менее строго. Мы может утверждать, что «если Объединяя указанные свойства вместе, можно показать, что для
Так как функции
Напомним еще раз, что у, мы используем для обозначения экспериментально измеряемой оценки Комбинируя это с (6.21), получаем, что для
Пусть Назовем эту матрицу проекционной матрицей. Пусть
Таким образом, метод, основанный на разложении функции в ряд, приводит к следующей дискретной задаче реконструкции: основываясь на (6.24), по данным значениям у оценить вектор изображения Если оценка, которую мы берем в качестве решения поставленной выше дискретной реконструктивной задачи, есть вектор
Из изложенного выше можно сделать следующее важное заключение. Наше обоснование метода, основанного на разложении функции в ряд, не нуждается в том, чтобы функционал определялся выражением (6.8). Требуется только, чтобы удовлетворял свойству, выраженному (6.21). Разные способы определения
|
1 |
Оглавление
|