12.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИЧАРДСОНА ДЛЯ РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Процедура итерации алгоритма Ричардсона в приложении к проблеме реконструкции изображения описывается выражениями (12.24) и (12.28). В обоих случаях на каждом шаге итерации необходимо вычислять величину

На первый взгляд может показаться, что указанные вычисления вызовут большие трудности, однако, как будет показано ниже, при некоторых принятых предположениях трудоемкость вычислений по формуле (12.47) вовсе не пропорциональна размерам взятых матриц.

Предположим, что матрица А диагональная. Разумность данного предположения для наших задач подтверждается тем, что в табл. 12.1 имеется лишь единственный случай, когда матрица А недиагональна (при байесовской оценке, для которой Однако является ковариационной матрицей случайной функции, выборки которой при измерениях представляют собой векторы ошибок измерений. Предположение о диатональности матрицы А (а следовательно, и матрицы эквивалентно гипотезе о том, что погрешности при экспериментальном определении величины строка матрицы проекций друг с другом не коррелируют. Реальные и модельные эксперименты подтверждают разумность сделанного предположения.

Если матрица А диагональна и имеет диагональные элементы

Выражение в правой части (12.48) можно вычислить за I шагов путем добавления на каждом шаге к текущему значению нового слагаемого. Вычислительная процедура на каждом шаге весьма сходна с одиночной итерацией в алгебраических алгоритмах реконструкции (разд. 11.1). На любой стадии вычислений требуются значения лишь одной строки матрицы более того, лишь ее ненулевые значения. Единственное существенное различие между рассматриваемой процедурой (12.48) и -ступенчатым алгебраическим алгоритмом реконструкции состоит в том, что если в алгебраических алгоритмах вектор изображения обновляется на каждой стадии (и, следовательно, необходимо запоминать лишь один -мерный вектор), то при вычислении по формуле (12.48) необходимо хранить в памяти два значения мерного вектора: вектор сумму, которую мы вычисляем.

Если предположить, что сглаживающая матрица (на практике обычно выбирают диагональной; разд. 6.4), то все остальные операции в (12.24) и (12.28) являются операциями умножения -мерного вектора на сглаживающую матрицу, или на скаляр, либо сложения двух -мерных векторов. Все упомянутые операции с точки зрения вычислений, возможно,

даже менее трудоемки, чем расчет по формуле (12.48). Таким образом, общий объем вычислений для одной итерации в методе Ричардсона имеет тот же порядок, что и для I итераций в алгебраических алгоритмах реконструкции. Поскольку в рассмотренном выше методе на одном шаге итерации принимают во внимание все измеренных значения (в то время как в алгебраических алгоритмах реконструкции используется лишь одно), то только что полученный вывод является очевидным. Единственный недостаток метода Ричардсона — необходимость запоминания дополнительных данных.

Поскольку метод Ричардсона является итерационным, то применение искусственных приемов, аналогичных изложенным в разд. 11.4, приведет лишь к незначительным изменениям алгоритма.