16.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В данном разделе будет доказана теорема регуляризации, использованная нами в разд. 8.1. При этом вначале необходимо выяснить смысл понятия «хорошей» функции в точке с.

Будем говорить, что функция достаточно «хорошая» в точке если выполняются следующие условия:

Здесь и далее интегралы понимаются в смысле Римана.

Покажем вначале, что если функция достаточно «хорошая» в точке то величина определяемая соотношением (8.7), существует. Имеем

которая с учетом условия (16.60) действительно существует. Последнее из приведенных в (16.61) равенств получено заменой переменных и соответственно в двух предыдущих интегралах.

Из полученных выше соотношений легко вывести следствие, которое в математическом анализе известно как лемма Римана — Лебега для абсолютно интегрируемых функций, т.е.

которая в сочетании с выражением (16.61) дает альтернативное представление для величины что будет сделано несколько ниже. Указанное представление будет особенно полезно для доказательства теоремы регуляризации.

Пусть функция, определяемая соотношением вида

Используя условия (16.58) и (16.59), для любых имеем

где последний переход получен с помощью замены переменных .

Поскольку в соответствии с формулой (16.62) предел левой части выражения (16.64) существует в пределе то, используя (16.61), получаем

Правые части соотношений (16.65) и (8.9) совпадают, и нам теперь необходимо доказать тождественность их левых частей. Используя соотношение (8.10), получаем следующие выражения:

Теперь необходимо показать, что правая часть полученного выражения (16.66) стремится к значению левой части (16.65) при т.е. что

где

Пусть произвольное, но фиксированное положительное вещественное число; тогда существует такое вещественное число что для любого справедливо неравенство

Пусть , тогда

Как это устанавливается теоремой регуляризации, функция монотонно не возрастает и лежит в интервале откуда следует монотонное невозрастание функции и условие Кроме того, функция непрерывна, поэтому можно применить к римановским интегралам теорему о среднеквадратичном значении и получить, что

для некоторых значений а, лежащих в интервале а также

для некоторых значений лежащих в интервале Из выражений (16.70) — (16.72) получаем, что

[см. также условие (16.69)].

Отметим, что величина не зависит от значений А, поэтому от них

не зависит и величина интеграла . В соответствии с условиями теоремы регуляризации и поэтому первый член в правой части неравенства (16.73) стремится к нулю при Поскольку величина с выбирается произвольной, то предел (16.67) существует, и доказательство теоремы регуляризации становится полным.