3. Физические проблемы, связанные с получением данных в реконструктивной томографии

Главной темой данной книги является рассмотрение алгоритмов, с помощью которых проводятся вычисления по оценкам линейных интегралов вдоль некоторого конечного числа прямых распределения относительного линейного ослабления рентгеновского излучения при фиксированной энергии Для получения оценок этих линейных интегралов выполняют измерения по схеме РТ. В данной главе мы обсудим характер физических ограничений и вопросы, которые возникают при оценке таких линейных интегралов по результатам калибровочных и рабочих измерений. За исключением проблем, связанных со статистической природой фотонов рентгеновского излучения и изменением спектрального состава рентгеновского излучения при его прохождении через вещество, наше рассмотрение будет ограничено кратким суммированием других проблем и некоторыми указаниями, каким образом их действие можно уменьшить. Кроме того, мы рассмотрим различные конфигурации сканеров, используемых в реконструктивной томографии. В гл. 5 будут приведены иллюстрации воздействия на качество реконструированных изображений, которые оказывают ошибки разного происхождения на стадии сбора данных.

3.1. СТАТИСТИКА ФОТОНОВ

Принципиальные ограничения точности измерений, которые проводятся в РТ, определяются статистической природой процессов излучения фотонов рентгеновского излучения, взаимодействия их с веществом и детектирования. Обсудим последовательно каждый из этих процессов.

Рассмотрим эксперимент, в котором регистрируют все фотоны, которые испускает стабильный источник рентгеновского излучения в направлении детектора за единицу времени. Подобный эксперимент приводит нас к дискретной случайной переменной, которая была обозначена (разд. 1.2). Возможные исходы такого эксперимента представляют собой неотрицательные целые числа, равные числу фотонов. Без каких-либо физических доказательств примем, что существует определенное вещественное число X, такое, что

Символ означает экспоненциальную функцию; и поэтому

(кликните для просмотра скана)

. На рис. 3.1 приведены графики для при .

Выражение (3.1) называют законом распределения вероятности Пуассона, а случайную переменную У, которая удовлетворяет этому закону, называют случайной переменной Пуассона с параметром . Отметим здесь три важных свойства такой случайной переменной:

а) ее среднее значение (математическое ожидание) равно ;

б) ее стандартное отклонение равно ;

в) при значениях случайная переменная дает нормальное распределение.

Эти свойства имеют важное практическое значение. Пусть, например, нас интересует оценка среднего числа фотонов X, испущенных за единицу времени стабильным источником рентгеновского излучения в направлении детектора. Если имеется система счета всех фотонов, достигающих детектора, то можно оценить X, сосчитав количество фотонов за определенный отрезок времени, т.е. получив выборку случайной величины. Если то тогда имеется приблизительно один шанс из 20, что ошибка равна двум стандартным отклонениям (200) или больше. Другой способ состоит в том, что мы считаем число фотонов за 100 таких единиц времени и делим полученное количество на 100, чтобы получить оценку Общее число фотонов за этот более длительный период времени равно в среднем для нашего примера 1 000 000, и в 19 случаях из 20 полученные значения сосчитанных фотонов в одной какой-либо выборке, будут находиться в пределах 998 000 - 1 002 000. Поэтому в 19 случаях из 20 оценка будет находиться в пределах 9980 - 10 020, т.е. погрешность равна 20 или меньше. Увеличив время измерения фотонов в 100 раз, мы уменьшаем величину вероятной погрешности в наших оценках в 10 раз. Подобное же явление наблюдаем в других случаях всегда, когда рассматриваем вопрос о том, каким образом точность калибровочных и рабочих измерений зависит от общего числа зарегистрированных фотонов.

Теперь рассмотрим вопросы, связанные со статистической природой взаимодействия фотонов рентгеновского излучения с веществом. Пусть фотоны вылетают из источника в направлении детектора по прямой (рис. 2.8). Тогда имеется определенная вероятность того, что какой-то определенный фотон долетит до детектора и не будет ни рассеян, ни поглощен. Эта вероятность зависит от энергии данного фотона и характеристик вещества, находящегося между источником и детектором, которое пересекает фотон по прямой Назовем величину пропусканием данного вещества вдоль прямой рентгеновского излучения с определенной энергией. Если все остается без изменений в пространстве между источником и детектором в течение определенного периода времени и в течение этого периода 10 000 фотонов одной и той же энергии вылетают в направлении детектора по прямой то число фотонов, достигающих детектора, приблизительно равно Остальные фотоны либо рассеятся, либо поглотятся.

Какой-то фотон, достигший детектора, не обязательно будет им зарегистрирован. Для каждого определенного фотона имеется определенная вероятность

а того, что этот фотон, достигнув детектор, будет сосчитан последним. Назовем эту величину а эффективностью детектора для фотонов рентгеновского излучения с данной энергией. Обобщая случай, рассмотренный выше, мы находим, что число фотонов из вылетевших из источника в указанном направлении, которые не поглотятся, не рассеятся и будут сосчитаны детектором, равно примерно .

Следующее весьма важное утверждение доказывается в разд. 16.5. Пусть X — среднее число фотонов с энергией которые испускает за единицу времени стабильный источник рентгеновского излучения по прямой в направлении детектора. В этом случае пропускание вдоль прямой для данного вещества рентгеновского излучения с энергией а о — эффективность детектора для рентгеновского излучения с данной энергией Тогда количество фотонов, которые имеют энергию достигают детектора без поглощения или рассеяния и регистрируются детектором за единицу времени, представляет собой отсчет случайной переменной Пуассона с параметром Хрст.

Теперь» мы можем обсудить вопрос о том, что же измеряют на стадии сбора данных в как об этом написано в разд. 2.3. Для этого предположим, что используемое рентгеновское излучение монохроматично и можно пренебречь собственными размерами источника и детектора рентгеновского излучения. Из последнего предположения следует, что все фотоны проходят от источника до детектора по одной и той же прямой и что, если какой-то фотон испытывает на этом пути рассеяние, он не попадает в детектор. В следующих разделах мы обсудим ошибки, которые вносятся вследствие того, что такие условия не выполняются на практике.

Пусть монохроматический пучок рентгеновского излучения с энергией обладает тем свойством, что доля фотонов, которые испускаются в направлении эталонного детектора, равна а доля фотонов, которые испускаются в направлении рабочего детектора, равна (рис. 2.8). Допустим, что средние значения числа фотонов, испускаемых за время калибровки и рабочих измерений, равны соответственно. Пусть равно коэффициенту пропускания материала для фотонов с энергией когда материал находится между источником и эталонным детектором, а коэффициентам пропускания для той же энергии рентгеновского излучения вещества, которое находится между источником и рабочим детектором (рис. 2.8) при калибровке и в рабочих измерениях соответственно. Пусть значения эффективностей эталонного и рабочего детекторов соответственно для рентгеновского излучения с энергией Из только что приведенных рассуждений следует, что число фотонов, сосчитанных эталонным и рабочим детекторами во время проведения калибровочных измерений, является отсчетом случайной переменной Пуассона со средними значениями соответственно. Отсюда

Аналогично число фотонов, сосчитанных эталонным и рабочим детекторами

за время проведения рабочих измерений, является отсчетом случайной переменной Пуассона со средними значениями соответственно. Отсюда имеем

Комбинируя (3.2) и (3.3) с (2.2), получаем

В разд. 16.2 покажем, что

Именно поэтому монохроматическую лучевую сумму можно использовать как оценку интеграла в алгоритме вычисления в отдельных точках по значениям линейных интегралов от (разд. 2.6).

Важным является следующий вопрос: насколько точно величина оценивает . В разд. 16.5 показано, что в предположениях, сделанных выше, является выборкой случайной переменной величины такой, что

и

где

Если эту величину можно сделать очень малой, то тем самым дает точную оценку

Отметим, что один из способов сделать величину 5 малой заключается в том, чтобы число фотонов, вылетающих из источника было большим. Если исключить проблему перегрузок детекторов, то нет ограничений сделать достаточно большим и тем самым сделать пренебрежимо малыми два первых члена в выражении для . В этом случае видно, что величина 5 обратно пропорциональна величине . К сожалению, числофотонов, покидающих источник во время проведения рабочих измерений, нельзя сделать произвольно большим, так как это приводит к недопустимо большой дозе облучения пациента и может замедлить процесс снятия проекций; поэтому погрешности, связанные с перемещениями, станут весьма

существенными (см. ниже). Однако отметим, что если пропускание вещества, находящегося между источником и эталонным детектором, будет относительно большим (около 1), то последний член в выражении (3.8) становится пренебрежимо малым. Это приводит к выражению

которое, в частности, показывает, что погрешность в оценке — зависит от пропускания во время проведения рабочих измерений, а именно уменьшение пропускания ведет к увеличению погрешностей.

Как видно из сказанного выше, погрешности измерения, обусловленные статистической природой процессов излучения фотонов рентгеновского излучения, их взаимодействия с веществом и их детектирования, являются неизбежными. Особенность этих погрешностей связана со случайным характером переменных. Как будет показано ниже, в некоторых алгоритмах реконструкции делают попытки использовать данные особенности. Так как эти погрешности влияют на конечные результаты, получаемые в процессе реконструкции, то важно знать как природу этих погрешностей, так и механизм влияния погрешностей на результаты, к которым приводит данный алгоритм реконструкции.