16. Математические выкладки

Стремясь сохранить стройность изложения, мы, как правило, опускали доказательства математических положений, встречающихся в предыдущих главах. В данной главе этот недостаток будет частично восполнен в той последовательности, в которой эти доказательства появлялись в книге.

Для выполнения указанных доказательств в достаточно компактном виде будет предполагаться более высокая, нежели ранее, математическая подготовка читателя.

16.1. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ОСЛАБЛЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В разд. 2.4 было высказано утверждение, что линейный коэффициент ослабления измеряется в единицах, имеющих размерность обратной длины (разд. 7.1). Докажем это.

Пусть линейный коэффициент ослабления рентгеновского излучения с энергией в точке расположенной между источником излучения и детектором Пусть также вероятность того, что вылетающий в направлении детектора фотон с энергией достигает точки с координатой находясь в пределах пучка, вероятность того, что фотон с энергией достигший точки затем по достижении точки с координатами выпадает из пучка. Нетрудно показать, что вероятности связаны друг с другом соотношением

Более важно теперь показать, что

Для доказательства последнего соотношения обозначим правую часть выражения (16.2) через и заметим, что оно определяется свойствами области окружающей рассматриваемую точку, поэтому можно записать как Таким образом, наша задача теперь состоит в доказательстве того, что для ткани с произвольной характеристикой I имеем

Согласно формуле (16.1),

Переходя к пределу при получим

Интегрирование обеих частей полученного выражения от источника до детектора (от до ) дает

Вспоминая, что, согласно определению, следовательно, имеем

Теперь покажем, что для ткани с произвольной характеристикой вдоль линии наблюдения в области, прилегающей к точке с координатой

Предположим, что объект, расположенный между источником и детектором, можно представить тканью в виде однородного бруска единичной толщины, а линия перпендикулярна передней поверхности указанного бруска (рис. 1.12). При этом поскольку вне бруска.

Используя соотношение (16.6), можно получить, что где вероятность того, что фотон с энергией летящий вдоль линии не выпадает из пучка после вылета из бруска. Таким образом, из определения линейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения следует, что

Поскольку вероятность де безразмерна, имеет размерность длины, то из соотношения (16.2) следует, что линейный коэффициент ослабления рентгеновского излучения имеет размерность обратной длины.