6.2. АЛГОРИТМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Один из способов определения оценки функции состоит в том, чтобы дать формулу, которая выражает значения через величины Такая формула может быть «дискретизированиой» версией обратного преобразования Радона, которое описывает по ее радоновскому образу Алгоритмы, основанные на таком подходе, называют алгоритмами с преобразованием. В остальной части данного раздела мы приведем более детальное объяснение того, что было сказано выше.

Преобразование Радона ставит в соответствие функции двух полярных переменных другую функцию двух переменных. Все, что мы ищем, это оператор такой, что приводил к (т.е. при его действии на данную функцию получалась бы функция ). Точно так как выражение (1.4) описывает, каким образом определяется значение для любой пары действительных чисел по значениям принимаемым этой функцией в области ее задания, нам нужна формула, которая по функциям от двух вещественных переменных определяет в точках Такой формулой является

где обозначает частную производную по [См. также

(6.2) гл. 2).] В разд. 16.3 будет показано, что для любой функции изображения двух полярных переменных (которая удовлетворяет некоторым физически разумным условиям) в том смысле, что для всех точек справедливо

Для того чтобы понять сущность оператора выразим его в виде последовательности простых операторов.

Обозначим взятие частной производной по первой переменной функции двух вещественных переменных через хогда для любой функции двух вещественных переменных для любой пары вещественных чисел

в предположении, конечно, что предел правой части этого выражения существует.

В нашем случае функция на которую действует есть радоновский образ функции изображения. Довольно легко функцию изображения можно выбрать такой, что не определена для всех значений Таким примером является функция изображения, которая имеет одинаковые значения во всех точках внутри кадра изображения. Можно строго математически определить у так, что этот оператор имеет смысл и в подобных ситуациях. Здесь же мы просто предположим, что для любой функции изображения , которое хотим восстановить, правая часть выражения (6.11) определена для Следующий оператор, который нам надо ввести, — это оператор преобразования Гильберта по отношению к первой переменной функции двух переменных Для любой пары вещественных чисел определим

Отметим, что интеграл в этом выражении является несобственным, так как подынтегральная функция расходится при Его можно преобразовать в интеграл в смысле главного значения Коши, т.е.

В нашем случае это для некоторой функции изображения Мы опять положим, что для изображений, которые нам надо восстанавливать, предел правой части выражения (6.13) существует.

И наконец, введем важный оператор, который называется оператором обратного проецирования. Заданной функции от двух переменных ставится

в соответствие другая функция двух полярных переменных, значения которой в любой точке определяются следующим образом:

Из рис. 6.1 видно, что обратное проецирование функции в данной точке получается путем интегрирования по сегменту кривой (от до ), уравнение которой задано выражением (6.7).

Почему этот оператор назван обратным проецированием, объясняется следующим образом.

Обратимся к прямой К на рис. которая образует угол в с положительным направлением оси «Проекция» функции двух переменных на данную прямую К есть функция одной переменной, полученная путем интегрирования вдоль прямой, перпендикулярной К. Другими словами, это есть , рассматриваемая как функция только Прямая которая проходит через точку перпендикулярна К и пересекает прямую К в точке которая находится на расстоянии от начала координат.

Теперь рассмотрим обратный процесс. Прежде чем находить из путем интегрирования (проецирования) вдоль линий, таких, как получим для произвольной функции двух переменных другую функцию размытием (обратным проецированием) значений вдоль таких линий. Для фиксированного значения в (определяющего данную прямую) вклад от в одинаков для всех точек лежащих на одной и той же прямой перпендикулярной К. Величина вклада пропорциональна где расстояние от начала координат. Так как проходит через точку а К проходит через начало координат, то траектория точки в которой эти взаимно перпендикулярные прямые пересекаются при изменении в, есть окружность, диаметр которой равен расстоянию от начала координат до этой точки .

Комбинируя (6.11), (6.12) и (6.14), получаем функцию от двух переменных и для любой точки :

Тождественность правых частей выражений (6.9) и (6.15) с точностью до постоянного множителя можно кратко выразить операторным уравнением:

Обратное преобразование Радона для функции двух переменных может быть сведено к следующей последовательности операций:

а) взятию частной производной по его первой переменной для получения функции

б) преобразованию Гильберта для по его первой переменной для получения функции ;

в) обратному проецированию ;

г) умножению полученного результата всех этих операций на . Этот последний процесс иногда называют нормировкой.

Последовательность этих операций предполагает, что известно точное значение для всех и и что требуемые операции можно выполнить точно. Ни одно из этих допущений не удовлетворяется, когда мы используем ЭВМ для вычисления функции по экспериментально полученным проекционным данным. Методы преобразования для реконструкции изображений основываются на выражении (6.16) или на альтернативных эквивалентных выражениях для обратного преобразования Радона но их приходится выполнять по конечному числу «неидеальных» экспериментальных данных в условиях ограниченных возможностей современных ЭВМ. Как это делают, будет изложено в следующих главах. Сущность того, что надо сделать, заключается в построении вычислительных операций (которые могут быть выполнены на цифровых ЭВМ), которые приводят к оценке значений двойных интегралов, подобных тому, как находят правую часть выражения (6.9) по данным значениям при .