7.3. ДИСКРЕТНОЕ ОБРАТНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

В последнем разделе мы получили дискретиэированное изображение путем численного определения интеграла в выражении (7.1) для центральных

точек элементов изображения. В качестве альтернативного подхода можно использовать алгоритм с разложением функции в ряд.

Рассмотрим базисные изображения, которые имеют значения 1 внутри элемента изображения и вне [базисные изображения определены выражением (6.17)]. В этом случае равна вычисленной длине пересечения луча с элементом изображения. Приведенные ниже критерии описывают то, что следует ожидать из интуитивных соображений от реализации алгоритма обратного проецирования для элементов изображения:

а) луч должен давать вклад только в те элементы изображения, которые он пересекает, и не давать вклада в остальные;

б) вклад -луча в элемент изображения должен быть пропорционален измеренной лучевой сумме для луча;

в) вклад луча в элемент изображения должен быть пропорционален

Все эти критерии удовлетворяются, если мы используем для оценки плотности в элементе изображения выражение

В матричном представлении это выражение можно записать следующим образом:

где транспонированная матрица т.е. матрица, у которой элемент равен Подробно реализация будет описана в разд. 11.1.

Соотношения, приведенные выше, не зависят от того, какие базисные функции приписаны элементам изображения. Мы полагаем в общем случае, что выражение (7.7) является решением дискретной реконструкционной задачи при использовании алгоритма обратного проецирования для заданной проекционной матрицы . В частности, мы называем результат умножения -мерного вектора на RT дискретной обратной проекцией.

Точно так же, как и в случае алгоритма непрерывного обратного проецирования, средняя плотность может существенно отличаться от средней плотности в изображении, подлежащем реконструкции. В таком случае можно получить хороший результат, применяя аддитивную и мультипликативную нормировку [см. (7.4) и (7.5)]. Это, конечно, имеет смысл, если разложение в ряд представляет соой дискретизированное выражение.

Дискретное обратное проецирстание, определяемое выражением (7.7), можно использовать для любой схемы сбора данных. Для стандартных проекционных данных в параллельном пучке это приводит к результату, весьма сходному по внешнему виду с тем, что показано на рис. 7.3. В том случае, когда дискретное обратное проецирование применяется для стандартных проекционных данных для веерного пучка, получают несколько

(кликните для просмотра скана)

Таблица 7.2 (см. скан) Меры различия между изображениями и время счета на ЭВМ для реконструкций дискретного обратного проецирования по стандартным проекционным данным для веерного пучка

отличные с виду результаты, которые приведены на рис. 7.5. Кривая распределения плотности вдоль столбца 63 этих реконструкций дана на рис. 7.6. Другие подробности, характеризующие алгоритм обратного проецирования, приведены в табл. 7.2.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Алгоритм обратного проецирования в различных аналоговых и цифровых реализациях был предложен рядов авторов. Историю этого вопроса можно найти в работе [51]. В частности, прием, описанный в разд. 7.2, взят из работы [98].

Численное определение интегралов и особенно сумм Римана достаточно подробно изложено в [37]. Рассмотрение других возможных алгоритмов численного определения интегралов из (7.1) проведено в работе [21].

Другие алгоритмы интерполяции, отличные от тех, которые были рассмотрены выше, изучались рядом авторов применительно к алгоритму обратного проецирования. Оценка интерполяционных методов Лагранжа приведена в работе [140]. Оппенгейм [125] предложил использовать модифицированные кубические сплайны; эта тема была далее рассмотрена в работе [86]. Метод фурье-интерполяции обсуждается в работе [156].

Оператор обратного проецирования для геометрии с веерным пучком (третья и четвертая схемы сканирования, рис. 3.3, в и г) приводится в работе [55].