16.5. АНАЛИЗ СТАТИСТИКИ ФОТОНОВ

В данном разделе будет приведено доказательство математического утверждения, касающегося статистики фотонов и не доказанного в разд. 3.1.

Вначале покажем, что число фотонов, которые имеют фиксированное значение энергии достигают детектора без какого-либо поглощения или рассеяния и регистрируются детектором, является выборкой случайного пуассоновского процесса с параметром (определения и обозначения величин см. в разд. 3.1).

Вероятность того, что источник в единицу времени излучает в точности у фотонов с энергией равна

что совпадает с выражением (3.1). Вероятность того, что один из упомянутых фотонов будет зарегистрирован детектором без предварительного поглощения или рассеяния, равна Следовательно, вероятность регистрации детектором из у фотонов без их поглощения или рассеяния дается, согласно формуле (1.3), соотношением

Следовательно, полная вероятность регистрации детектором в единицу времени в точности фотонов с энергией без их поглощения или рассеяния равна

причем здесь мы использовали разложение экспоненты по степеням Полученные выражения, как это и требовалось, свидетельствуют о том, что является выборкой случайного пуассоновского процесса X с параметром

Теперь приведем вывод использованных соотношений (3.6) и (3.7), для чего необходимо обсудить особенности случайной функции, представляющей собой натуральный логарифм от случайной величины, распределенный по пуассоновскому закону (разд. 1.2). В этом состоит принципиальная трудность, поскольку при выборке пуассоновского процесса возможно появление нулевых значений, при которых функция не определена. При практических расчетах обычно имеют дело с такой случайной пуассоновской

функцией, параметр X которой достаточно велик, так что вероятность получения нулевого отсчета, вернее, величины, пропорциональной ничтожно мала. Мы можем, таким образом, ввести модифицированное распределение Пуассона все исходы которого — положительные целые числа, а вероятности весьма близки для всех положительных целых чисел Простой способ реализации этого — определить в виде Указанное распределение будем называть усеченным случайным пуассоновским распределением с параметром X, свойства которого будут пояснены ниже.

Если усеченное случайное пуассоновское распределение с большим значением параметра то

и

Точный смысл полученных выражений состоит в том, что существуют такие постоянные с и для которых при всех абсолютные различия величин в правых и левых частях (16.43) и (16.44) становятся меньше Доказательство данного утверждения выходит за рамки книги.

Еще одно положение, которое мы используем, состоит в следующем: если независимые случайные величины, то

и

что является элементарным результатом теории вероятности, поэтому доказательство здесь опущено.

Используя соотношение (2.2) в сочетании с анализом разд. 3.1, замечаем, что монохроматическую лучевую сумму можно представить в виде

где представляют собой выборочные значения случайной пуассоновской функции от переменных с параметрами соответственно. Предполагая, что число зарегистрированных детектором фотонов настолько велико, чтобы можно было считать случайные функции усеченными случайными пуассоновскими функциями с соответствующими параметрами, получаем, что является выборочным значением случайной функции равной

Поскольку, очевидно, дисперсии появления отрицательных и положительных случайных значений одинаковы то из соотношений (16.43) — (16.46) следует, что

Переписывая выражение (3.8) в виде

из формул (16.49) и (16.50) можно получить (3.6) и (3.7) соответственно.