11.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ РЕКОНСТРУКЦИИ

В этом разделе будут продемонстрированы возможности некоторых из обсуждавшихся выше алгебраических алгоритмов реконструкции применительно к стандартным проекционным данным.

На всех изображениях представлены картины, полученные после итераций. На итерации измерения проводились особо

Таблица 11.1 (см. скан) Мера расстояния между изображениями и время реконструкции изображений алгебраическими алгоритмами

тщательно для всех возможных положений источника и детекторов. Для любого положения источника каждый луч рассматривают последовательно, причем положения источников выбираются так, чтобы два последовательно взятых положения стягивали центральный угол, приблизительно равный 60° (рис. 5.2).

На рис. 11.2 и 11.3 показаны результаты применения релаксационного метода решения системы уравнений (11.22) и (11.23) к несовместной системе уравнений при значении параметра релаксации для всех k. Последнее аналогично использованию алгоритмов (11.1) и (11.2). Необходимо выбрать равным результатам, полученным после применения алгоритма дискретного обратного проецирования с мультипликативной нормировкой (рис. 7.5,в). Качество полученных изображений совершенно неприемлемо, и оно существенно не улучшается при последующих итерациях. В табл. 11.1 приведены данные о мерах расстояний между изображениями и о времени его получения.

Метод неполной релаксации существенно повышает качество изображений. На рис. 11.4 и 11.5 представлены результаты машинных экспериментов, аналогичных во многих отношениях тем, в результате которых были получены рис. 11.2 и 11.3, однако при для всех k. Из рисунков видно существенное повышение качества изображений благодаря простому изменению параметра релаксации.

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Рис. 11.6 и 11.7 получены с помощью других искусственных приемов (селективного сглаживания, ограничения и нормирования), рассмотренных в разд. 11.4. Нежелательным является тот факт, что селективное сглаживание приводит к усилению паразитных структур, оставшихся от предыдущих операций, хотя этого эффекта можно избежать путем введения изменяющегося порога при селективном сглаживании (первоначально большого и затем уменьшающегося). Однако для сохранения общности изложения было принято решение использовать одни и те же параметры селективного сглаживания в конце каждой из 1 итераций, а именно те же параметры, что и повсеместно использованные в данной книге, и (11.46)].

В случае если точно те же искусственные приемы применить к аддитивному алгебраическому алгоритму реконструкции, описываемому соотношениями (11.38) и (11.39), мы получим намного лучшие результаты (при условии соответствующего выбора величин . Указанный алгоритм обеспечивает сходимость результата к байесовской оценке минимизирующей значение (11.26). Подбором величины в процедуре селективного сглаживания данных, полученной с помощью сверточного алгоритма и функции обобщенного «окна» Хэмминга с (рис. 10.5,з), гарантируется, что «ожидаемая величина» является хорошей аппроксимацией желаемого вектора изображения. Было показано, что оптимальное значение в формуле (11.26) равно 0,75, что и иллюстрируется рис. 11.8 и 11.9. По величине мер расстояний между изображениями (табл. 11.1) установлено, что последовательные итерации, взятые в рамках аддитивного алгоритма, улучшают качество изображений, получаемых на предыдущих итерациях и изначального приближения, равного (табл. 10.2). В самом деле, указанные меры показывают, что оптимизация соотношения (11.26) при ранее указанных значениях

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

позволяет получить реконструированные изображения более высокого качества, нежели те, которые мы уже видели до сих пор или увидим после этого в книге. Читателю предоставляется возможность самому судить о том, соответствует ли мерам расстояния между изображениями визуальные восприятия этих реконструкций.

Из табл. 11.1 видно, что каждая итерация в алгебраических алгоритмах реконструкции требует приблизительно 600 с машинного времени, что близко по порядку величины ко времени полной реконструкции сверточным алгоритмом. В отличие от четырех обсуждавшихся выше искусственных приемов дополнительные итерации практически не влияют на качество реконструируемых изображений, поэтому сомнительно, что при этом повышение качества изображений могло бы окупить вложенные затраты. Последнее показывает, что в рутинных методах рентгеновской реконструктивной томографии алгебраические алгоритмы реконструкции не могут составить конкуренцию сверточному алгоритму, однако в тех случаях, когда конфигурация системы регистрации достаточно специфична (или же малб число зарегистрированных фотонов), алгебраические алгоритмы могут быть эффективней сверточного алгоритма.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Для целей реконструкции изображений алгебраические алгоритмы впервые были опубликованы в [52]. Одновременно аналогичный метод реконструктивной томографии был уже предложен в описании к патенту Хаунсфилда [88], первоначально зарегистрированному им в 1968 г. На самом же деле тот простой алгоритм, который описывается соотношением (11.2), в 1937 г. уже был предложен Качмаржем [94] для решения систем совместных линейных уравнений. Методическое изложение особенностей алгебраических алгоритмов реконструкции принадлежит Гордону [50]. Методы, рассмотренные в данной главе, являются частными случаями так называемых методов генерации строк, предназначенных для решения систем разреженных уравнений или неравенств; их обзор содержится в работе [27].

Принятая нами методика изложения релаксационных методов решения систем уравнений и неравенств основана на работах [71, 85], в которых приведена библиография более ранних работ. Обладающий свойством конечной сходимости метод ART-3 описан в [63]. Теорема о минимальной норме представляет собой тривиальное следствие теоремы, которая в теории получила название «проекционная теорема» (не следует путать ее с теоремой того же названия в теории реконструкции изображения; для знакомства с первой см. работу [112]). Релаксационный подход к нахождению решения с минимальной нормой для системы неравенств приведен в работе [106]. Вопрос о том, каким образом указанный подход использовать для реконструкции изображений, был исследован в [73].

Рассмотрение байесовского подхода основано на работах [81, 82]. Во второй из перечисленных работ приведено детальное рассмотрение вопроса о справедливости предположений, использованных в байесовском подходе.

Термин «искусственные приемы» впервые введен в [71] для обозначения процедур, описанных в разд. 11.4. Подробное изложение этих вопросов можно найти в самой работе и библиографии к ней. Алгоритм, позволяющий находить решение с минимальной нормой для комбинированной системы соотношений (11.40) и (11.47),

предложен в [73], а алгоритм реконструкции изображения объекта, имеющего лишь два уровня плотности, дан в работе [62]. Любопытная демонстрация возможностей процедуры неполной релаксации дана в [68], где показано, что прием с использованием дополнительной матрицы (не обсуждавшейся в данной книге) может рассматриваться в алгебраических алгоритмах в качестве частного случая процедуры неполной релаксации в процессе ограничения.

Интересное теоретическое исследование о порядке, в котором необходимо брать различные ракурсы изображения для алгебраических алгоритмов реконструкций, опубликовано в [58]. Данная работа и библиография к ней интересна также в том отношении, что в ней использована отличная от рассматриваемой в данной книге модель реконструкции изображения, в результате чего появляется процедура итераций, оперирующая с матрицами, а не с векторами изображений. Эта процедура названа в [71] непрерывным алгебраическим алгоритмом реконструкции.

С другими модификациями алгебраических алгоритмов реконструкции, которым не нашлось места в данной книге, читатель может ознакомиться в работах [50, 71]. Особый интерес представляют мультипликативные алгебраические алгоритмы реконструкции, поскольку, как это было доказано в [105], они максимизируют энтропию [формула (6.44)]. Реконструкция изображений с использованием алгебраических алгоритмов реконструкции и близких к ним подходов всего по двум-трем проекциям описана в работе [121].