8.5. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

С помощью соотношения (8.19) мы определили оценку получаемую в результате математически идеализированного сверточного алгоритма, как обратное проецирование где функция двух переменных, обратное преобразование Радона которой необходимо найти, сворачивающая функция. В разд. 8.3 отмечалось, что операция обратного проецирования обычно применяется не к свертке а к ее аппроксимированному значению, которое обозначалось через Чтобы использовать это

аппроксимированное значение [формула (7.2)], необходимо, чтобы функция была известна для тех величин которые определяются из соотношений Так как точка с координатами в которой необходимо вычислить интенсивность изображения, может находиться в любой точке поля изображения, то функцию необходимо определять во всех точках причем где целое число, лежащее в интервале Определение функции в указанных точках производят в два приема. Вначале по формуле (8.23) мы определяем точные значения в точках где целое число а затем показываем, что получают путем интерполяции из значений . В данном разделе рассмотрим соотношения между сверткой и ее аппроксимированным значением

Отметим прежде всего, что указанное рассмотрение относится только к функциям одного переменного, так как для любого фиксированного значения величина определена значениями функции т.е. значениями [формула (8.11)]. Таким образом, эту проблему можно переформулировать следующим образом.

Предположим, что функция одной вещественной переменной, причем при положительное вещественное число. Пусть является другой функцией, также одной переменной, вещественное число, целое число, такое, что Определим некоторую новую функцию таким образом, чтобы для целых значений выполнялось равенство

Для всех значений вещественной переменной функция определяется путем интерполяции значений

Упражнение. Исследуйте вопрос о том, каким образом выбор функции и метода интерполяции сказывается на соотношениях, связывающих функции

Здесь мы изложим постановку задачи в частной формулировке, потому что представляет собой проекционные данные, которые поступают с реального прибора. С другой стороны, выбор сворачивающей функции и алгоритма интерполяции делаем мы сами, и о том, как их выбрать, показано ниже.

Для решения указанной проблемы более подробно рассмотрим сущность процесса интерполяции. Для любого положительного вещественного числа (называемого шагом дискретизации) и любой функции вещественных переменных (называемой интерполяционной функцией) определим оператор который назовем оператором интерполяции для шага дискретизации и для интерполяционной функции и который связывает произвольную функцию одной вещественной переменной с другой функцией

(также одной вещественной переменной) согласно соотношению

В практических расчетах сумма в выражении (8.37) обычно имеет конечное число слагаемых, поскольку в большинстве приложений интерполяционные функции полагают равными нулю вне некоторого небольшого интервала. Например, при интерполяции по двум ближайшим значениям используют функцию следующего вида:

Здесь предполагаем, что усредненное значение желательно получить в точке, находящейся точно посредине между двумя точками отсчета. При линейной интерполяции необходимо использовать интерполяционную функцию другого вида, а именно

Заметим, что для каждой из двух указанных выше интерполяционных функций справедливо соотношение

для любой функции и при любом целом значении Интерполяционные функции, удовлетворяющие соотношению (8.40), будем называть собственными интерполяционными функциями.

Предположим, что функция I в нашем случае должна задаваться с помощью собственной интерполяционной функции Точный метод определения функции состоит в следующем: по формуле (8.36) определяют функцию в точках с координатами для всех целых значений затем с помощью соотношения (8.37) при замене на для всех вещественных значений и определяют функцию При этом фурье-образ функции можно найти следующим образом.

Пусть имеем

и

тогда получаем

Доказательство данного утверждения требует более серьезной математической подготовки, чем та, которая предполагалась при написании этой книги, хотя этапы доказательств имеют важные приложения в сверточном методе. В следующем разделе речь пойдет о выборе сворачивающей и интерполяционной функций, базирующемся исключительно на соотношениях (8.41) — (8.44).