13.3. ПРИМЕНЕНИЕ НЕИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕКОНСТРУКЦИИ С РАЗЛОЖЕНИЕМ ФУНКЦИИ В РЯД

При использовании метода разложения изображения на кольцевые гармонические составляющие необходимо изменить алгоритм вычислений разд. 13.1 так, чтобы номер гармоник зависел от положения кольца. Другими словами, определим положительное целое число и используем выражение для базисных изображений в виде (13.11) лишь в том случае, когда (последнее эквивалентно условию при Причины такого подхода состоят в том, что кольца меньшего радиуса имеют меньшую площадь, и нет необходимости брать частоту гармоники выше, чем у кольца наибольшего радиуса.

Аналогично при использовании метода полиномиальных разложений необходимо изменить алгоритм вычислений, как это сделано в разд. 13.2, и взять полиномы вплоть до степени которая, как это определено выражением (13.35), равна Таким образом, мы вновь определяем положительное целое число (а именно равное и используем выражение для базисных функций в виде (13.34) лишь в случае, когда

Рассмотренные в настоящей главе алгоритмы реконструкции можно реализовать за три этапа вычислений:

а) расчет величины

б) решение системы нормальных уравнений (1.31);

в) расчет изображения, основанный на решении системы нормальных уравнений [соотношение (6.25)].

Рассмотрим особенности применения методов отдельно для каждого из этапов.

В принципе произведение состоит из двух сомножителей: -мерного вектора и матрицы размерами вычисление которых на первый взгляд требует операций умножения. Однако величина определяется

формулой (13.22), поэтому

где

обозначает измеренную для луча с параметрами лучевую сумму.

Для фиксированного значения вычисления внутренней суммы

при можно сушественно ускорить путем использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, разд. 9.2), который подробно рассматривать здесь не будем. Что касается метода полиномиального разложения, в котором величины также определены с помощью гармонических функций [соотношение (13.41)], то и в этом случае вычисления внешней суммы могут быть также ускорены при помощи БПФ.

Общий подход двух последних разделов был продиктован стремлением упростить решение системы нормальных уравнений, и в этом смысле ко второму этапу вычислений добавить нечего.

На третьем этапе нет чего-либо такого, что могло бы беспокоить нас в случае, когда базисные изображения получены с помощью дискретизации. Последнее объясняется тем, что при этом выходные данные представляют собой дискретизованное изображение, пригодное для непосредственного отображения или для выдачи вычисленного значения коэффициента относительного поглощения в отдельных точках. Теперь же складывается совершенно иная ситуация. При использовании метода полиномиальных разложений каждое базисное изображение дает вклад в каждую точку рекрнструированного изображения, поэтому вычисление функции для различных значений становится слишком трудоемким и неэкономичным. Данная ситуация несколько смягчается в случае применения метода разложения на кольцевые гармоники, поскольку для получения значений функции в фиксированных точках с координатами учитывается вклад лишь базисных изображений. Достаточно просто вычислить функцию сначала в точках, лежащих на множестве концентрических колец с центром в начале координат, и только потом произвести интерполяцию с целью получения дискретизованного изображения. Это также позволит нам использовать алгоритм БПФ для ускорения расчетов, которые в противном случае могут оказаться слишком трудоемкими.

Суть разработанного в разд. 13.2 алгоритма будет прои шюстрирована ниже на стандартных проекционных данных. Для этого нам потребуется ввести дополнительные лучи с нулевыми значениями лучевых сумм, как это

было описано в разд. 13.2. Действительно, поскольку в стандартной схеме реконструкции то число рассматриваемых лучей составляет причем лишь 163 центральных лучей имеют измеренные значения лучевых сумм, а остальным присвоены нулевые значения. Учитывая, что число ракурсов в стандартных проекциях составляет ограничение числа У обусловливает выбор [см. материал, предшествующий соотношению (13.45)]. Мы приняли . Кроме того, в каждом из экспериментов были использованы все возможные полиномы вплоть до некоторой определенной степени. Другими словами, мы сначала выбрали степень С, а затем — все значения и , удовлетворяющие условиям

Поскольку вид полинома подбирается с учетом радиуса окружности, на которой располагаются источники (а не из размеров реконструированной области), то не удивительно, что для точного восстановления требуются большие значения С.

На рис. 13.1 приведены четыре изображения, реконструированные методом полиномиальных разложений, причем, согласно формуле (13.60), величина С выбрана равной и 1630 соответственно. Отметим, что последнее из упомянутых значений оказывается слишком большим, исходя из развитой в данной главе теории, однако то, что его взяли, может быть оправданно стремлением к более точному выполнению условия ортогональности функций, чем это предусматривается соотношением (13.29). Распределения восстановленных значений, взятых вдоль 63-го столбца, приведены на рис. 13.2, а меры различий между изображениями — в табд. 13.1. Заметим, что появляющиеся при аппроксимации более высоких порядков необычные артефакты стали заметны из-за выбранных нами уровней белого и черного. В целом реконструкция изображения производится достаточно точно, что следует из величины мер различия между изображениями.

Таблица 13.1 (см. скан) Меры различия между изображениями для реконструкций на рис. 13.1

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Особенностью использованного подхода являлось то, что точность вычислений вне области реконструкции изображения также гарантировалась (реконструированные значения близки к нулю правее окружности сканирования источника), однако этот факт не нашел своего отражения ни во внешнем виде изображений, ни в значениях меры различий между ними, поскольку они относятся только к области реконструкции.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

Самая ранняя из опубликованных работ, в которых предложено использовать неитерационный алгоритм реконструкции с разложением в ряд, принадлежит Кормаку [34]. Новаторский характер этой работы был отмечен присуждением А. М. Кормаку (совместно с Дж. Н. Хаунсфилдом) Нобелевской премии в области медицины за 1979 г. В недавней работе [109] приведена подробная библиография работ за указанный период.

Рассмотренный в главе вопрос о разложении изображения на кольцевые гармоники основан на работе [127], в которой были учтены особенности реализации метода (см. также работу [79]). Специальный выбор системы базисных изображений взят из работы [2], в которой использована аналогичная система для трехмерной реконструкции структуры солнечной короны. Конфигурация системы регистрации и система обозначений взяты из работы [3].

Для уяснения метода исключения неизвестных Гаусса и других стандартных методов решения системы уравнений можно обратиться, например, к книге [133]. Техника разложения функций в ряд Фурье описана в большом числе монографий по математическому анализу (например, в книгах [8, 35]). Книга [35] также может оказаться полезной при изучении полиномов Чебышева и других специальных полиномиальных разложений.

Раздел, посвященный полиномиальным разложениям, основан на работе [115], в которой можно найти опушенные в данной главе второстепенные вопросы. Отметим, в частности, что полиномы и в соотношении (13.36) являются частным случаем (со сдвигом) классических полиномов Якоби. Частные вопросы применения методов можно найти в работе [79].