6. Основные представления об алгоритмах реконструкции

В данной главе мы начинаем систематическое изучение алгоритмов реконструкции. Мы познакомимся с обозначениями, которые используются в остальной части книги, разобьем алгоритмы на две основные группы — алгоритмы с использованием преобразований и с использованием разложения в ряд. Мы разъясним сущность алгоритмов каждой из этих групп и укажем, какими, по нашему мнению, характеристиками должны обладать алгоритмы реконструкции,

6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

До сих пор во всех рассматриваемых случаях при задании функций двух переменных использовалась прямоугольная система координат. Для обозначения относительной ослабляющей способности в точке мы задавали функцию где относилось к прямоугольной системе координат (рис. 2.8). Однако в большинстве математических работ, посвященных указанной проблеме, удобнее использовать полярную систему координат которая связана с прямоугольной системой координат следующими выражениями: Мы будем использовать выражение функция двух полярных переменных, подразумевая при этом функцию значение которой представляет значение определенной физической величины (например, коэффициента линейного ослабления рентгеновского излучения) в геометрической точке с полярными координатами Характерной особенностью с математической точки зрения функции от двух полярных переменных является то, что для всех значений Это соответствует тому, что физическая величина в начале координат может иметь только одно значение. Далее мы не ограничиваем область возможных значений полярных переменных, т.е. разрешаем принимать для и любые вещественные значения; следствием этого является то, что функция двух полярных переменных должна удовлетворять условию

В разд. 4.1 мы определили изображение как функцию двух переменных, значения которой вне области изображения равны нулю, а кадр изображения представляет собой квадрат (например, размером центр которого находится в начале координат. В соответствии с этим мы используем обозначение , чтобы задать функцию двух полярных переменных и

и тем самым определить изображение, подлежащее реконструированию. Известно, что

( обозначает абсолютное значение равное если если ) В частности, если

Возможной физической интерпретацией функции изображения является то, что, если поле изображения равно полю реконструкции, изображенному на рис. соответствует значению линейного коэффициента ослабления в точке Однако последующее обсуждение алгоритмов не зависит от приведенной интерпретации Алгоритмы реконструкции применимы для любой другой физической интерпретации функции (разд. 1.1).

Важное различие между исследованием функции как таковой и исследованием ее как распределения некоторой физической величины состоит в способе использования математики. Алгоритмы реконструкции, как правило, базируются на самых общих теоремах математики, которые формулируются обычно так: «Если функция обладает свойством, что... то из этого следует...» Мы будем последовательно использовать результаты этих теорем, если только справедливость предпосылок разумна с физической точки зрения.

В частности, мы будем всегда полагать, где это требуется, что изображение удовлетворяет определенным условиям интегрируемости. (Мы пользуемся понятием интегралов без точного их определения. Хотя почти все наши утверждения справедливы для любого обычно используемого определения интеграла, однако те, кто хочет, чтобы наш подход был достаточно обоснован математически, могут использовать понятие интеграла в смысле Лебега.) Одним из наших предположений является то, что любая функция изображения является квадратично интегрируемой, т.е. что существует интеграл

(Существование в данном случае означает, что данный интеграл можно вычислить. Его значение есть вещественное число.) Такое предположение позволяет определить расстояние между двумя функциями изображения , и :

гак как можно доказать, что, если функции таковы, что интеграл (6.2) существует, когда или заменяют на тогда интеграл (6.3) также

существует. Ясно, что (6.3) соответствует квадратичной мере различия между изображениями, определенными выражением (5.1).

Теперь определим преобразования Радона для функции от двух полярных переменных. Сначала введем условные обозначения, которые используются по всей книге. Преобразование Радона представляет собой пример оператора; когда такой оператор действует на какую-то функцию, то он создает другую функцию. Для обозначения операторов используем прописные рукописные буквы; например, обозначает оператор Радона. Функция, которая получается в результате преобразования Радона, обозначается через и называется радоновским образом. Значение в точке в области ее задания определяется как .

Радоновский образ функции определяется для пары любых вещественных чисел следующим образом:

Из рис. 2.8 видно, что соответствует линейному интегралу от вдоль прямой [Отметим, что переменная в (6.4) не совпадает точно с той переменной которая показана на рис. 2.8. В выражении соответствует точке, где перпендикуляр, опущенный на прямую из начала координат, пересекается с Существование радоновского образа для любого значения и в является вторым предположением об интегрируемости.

Заметим, что

и что

Последнее уравнение следует из выражения (6.1). Из этих соотношений следует, что функция полностью определена ее значением в точках (1,6) с областью задания

Между областями определения функций имеется существенное различие. Функция изображения определена для любой пары вещественных чисел которые являются координатами точек на плоскости. Следовательно, значение одинаково для любого значения так как точка во всех случаях соответствует началу координат. В случае дело обстоит иначе. Ее значение для пары чисел равно линейному интегралу от вдоль прямой, проходящей через начало координат и составляющей угол в с положительным направлением оси у. Поэтому, если только не обладает круговой симметрией относительно начала координат,

Рис. 6.1.

зависит от . Пару вещественных чисел из области определения функции не следует интерпретировать как полярные координаты точки на плоскости.

Грубо говоря, оператор ставит в соответствие функции в пространстве функцию в пространстве . Одна точка в соответствует некоторой прямой (находящейся на растоянии I от начала координат и образующей угол с положительным направлением оси в пространстве так как является интегралом от вдоль

Чтобы пояснить связь между этими двумя пространствами, рассмотрим рис. 6.1. На нем показаны два геометрических места точек в пространстве соответствующих двум множествам прямых в пространстве : а) множеству параллельных прямых, б) множеству прямых, проходящих через фиксированную точку.

Рассмотрим сначала прямую К, которая образует угол в с осью на рис. Любая прямая, перпендикулярная К, образует угол в с положительным направлением оси у. Поэтому геометрическое место точек в -пространстве, которые соответствуют прямым, перпендикулярным К, есть прямая (рис. 6.1,б).

Теперь рассмотрим точку на рис. 6.1,а. Если прямая, проходящая через эту точку, образует с положительным направлением оси у угол в, то ее расстояние от начала координат равно

Поэтому геометрическое место точек в -пространстве, которому соответствуют прямые, проходящие через точку есть кривая, описываемая уравнением см. рис.

Точка в -пространстве, которая соответствует прямой являющейся перпендикуляром к (и поэтому составляющей угол в с положительной полуосью и в то же время проходящей через заданную точку есть точка

Входные данные алгоритма реконструкции представляют собой оценки (основанные на физических измерениях) значений для конечного числа пар а выходные данные являются оценками значений в определенном смысле функции . В этой главе дано точное разъяснение этого короткого описания.

Пусть оценки ) известны для пар Определим для выражением

Рис. 6.2. Расположение в -пространстве точек, соответствующих прямым, вдоль которых снимают измерения, при использовании схемы сканирования в параллельном пучке. Предполагается, что имеются только один источник и только один детектор излучения, которые перемешаются параллельно друг другу за шагов размером при этом радиуса круговой области, в которой находится объект реконструкции. После снятия показаний для зтнх лучей, соответствующих одному ракурсу, вся измерительная аппаратура поворачивается на угол и снова проводятся снятия показаний для лучей и в следующем ракурсе. Такой процесс повторяется раз, где равно Таким образом, для получения полного набора ракурсов аппаратура поворачивается на полуокружность. Характерной точкой в пространстве является которая находится на пересечении двух прямых (Воспроизводится из работы (70) с разрешения автора.)

пример функционала; результат его действия на функцию есть вещественное число. В дальнейшем, если не оговорено, мы обозначим через имеющиеся оценки а для обозначения -мерного вектора-столбца используем у, где 1-й элемент такого вектора есть Назовем этот вектор у вектором измерения.

При построении алгоритма реконструкции мы предполагаем, что метод сбора данных и, следовательно, набор зафиксирован и известен. Кратко говоря, задача состоит в том, чтобы по заданым значениям у оценить изображение

В двух следующих разделах рассмотрим основные подходы, которые используют при оценивании . Как правило, оценка обозначается .

равно значению в определенной точке пространстве (I ,0). При использовании любой геометрии сбора данных мы имеем конечное множество точек , в которых значения известны. Например, при использовании первой и второй схем сканирования, рассмотренных в гл. 3 (схемы параллельного сканирования; см. рис. 3.3,а и б), точки для которых значения известны, образуют прямоугольную сетку, как показано на рис. 6.2. Соответствующие расположения в методе сбора данных с веерным лучом (рис. 3.3,в и г) имеют более сложный вид; они будут рассмотрены в гл. 10.