1.2. ВЕРОЯТНОСТЬ И СЛУЧАЙНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Чтобы обсуждать процессы, связанные с РТ, необходимо знать некоторые основные понятия теории вероятности. Цель этого раздела — ознакомить читателей с такими понятиями. При желании читатель может бегло просмотреть данный материал и вернуться к нему позже, по мере того как введенные здесь понятия будут использоваться в других разделах книги.

Рис. 1.21. К определению понятия степени (коэффициента) пропускания рентгеновского излучения.

Для примера рассмотрим случай, который изображен на рис. 1.21. Пусть имеется пластина из некоторого материала в форме параллелепипеда и прямая проходит через эту пластину. Если фотон рентгеновского излучения войдет в эту пластину вдоль линии через ее верхнюю грань, то он продолжит свое движение вдоль данной линии до тех пор, пока не поглотится или не рассеется. Некоторые фотоны не испытают ни поглощения, ни рассеяния и выйдут из пластины через нижнюю грань. Проблема состоит в том, что для какого-то определенного фотона нельзя сказать, пройдет он через пластину или нет. Все, что известно, — это то, что для любого фиксированного значения энергии фотона имеется фиксированное значение вероятности того, что фотон, обладающий такой энергией, войдя в пластину, пройдет через нее. Величину называют коэффициентом пропускания, соответствующим фотону с энертгией в пластине вдоль линии это определение совпадает с определением «вероятности» в подобных случаях.

Чтобы определить величину представим мысленный эксперимент. Его можно бы было выполнить реально, но для этого надо иметь в своем распоряжении бесконечное время и идеально точные приборы. Направим фотоны рентгеновского излучения с энергией один за другим на пластину вдоль линии и проверим, проходит ли каждый из этих фотонов через данную пластину. Пусть число фотонов, прошедших через пластину из общего числа первых фотонов, которые участвуют в этом эксперименте

(Индекс 1 указывает на то, что данный эксперимент является первым таким мысленным экспериментом. В дальнейшем будет рассмотрена серия подобных экспериментов.) Тогда величина определяется как предел при

Таким образом коэффициент пропускания есть такое число, что для любого данного положительного вещественного числа с, как бы мало оно ни было, всегда найдется целое число такое, что разность между меньше для всех ббльших

Отметим, что заранее не очевидно, имеет ли предел при Утвердительный ответ основан на реальных физических экспериментах, которые являются приближением описанного выше мысленного эксперимента. Отметим также, что мы исходим из предположения, что то же самое значение будет получено, если такой опыт выполнить снова. А именно пусть такой же мысленный опыт будет выполнен второй раз и пусть обозначает количество фотонов, прошедших через пластину из первых фотонов во втором опыте. Тогда

Даже если величины определяемые как пределы, в этих двух идентичных мысленных экспериментах одинаковы, то это не означает, что можно принять для любого фиксированного значения Любая из величин может принимать любое целое значение от нуля (отсутствуют фотоны, прошедшие через пластину) до (все фотоны проходят через пластину). Однако некоторые из этих величин являются более вероятными, чем другие. Разумно спросить: какова вероятность того, что фотонов из вошедших в пластину, пройдут через нее?

Чтобы определить величину выполним многократно описанный выше мысленный эксперимент, пока фотонов не войдут в пластину. Пусть число фотонов, прошедших через пластину в подобном эксперименте, число раз, когда для Тогда определим

Заметим, что если или Так как по предположению равно вероятности того, что фотонов из пройдут через пластину, то это утверждение является разумным. Легко также видеть из сравнения мысленных экспериментов, использованных для определения что Несколько труднее показать, что в общем случае для

равно произведению Выражение (1.3) называют биномиальным вероятностным законом.

Множество всех возможных исходов эксперимента, подобного только что рассмотренному, вместе с вероятностью каждого исхода называют дискретной случайной переменной. В книге будут рассмотрены только такие эксперименты, исходы которых представляют собой число или вектор-столбец чисел.

Например для фиксированных значений множество целых чисел вместе с вероятностью называют биномиальной случайной переменной с параметрами Исходом единичного эксперимента называют выборку или отсчет случайной переменной. Например, величина для определенного значения в только что описанном мысленном эксперименте представляет собой выборку из биномиальной случайной переменной с параметрами .

Таким образом, число фотонов, которые могут пройти через материал в том случае, когда фотонов входят в пластину, является случайной переменной. Реальное число фотонов, прошедших через пластину в единичном эксперименте, является выборкой случайной переменной.

В дальнейшем мы познакомимся с другими случайными переменными. Особенно важной величиной такого рода для наших целей является случайная переменная, связанная с количеством фотонов, испущенных источником в направлении детектора за единицу времени.

Двумя наиболее важными характеристиками дискретных случайных переменных являются среднее значение и дисперсия, которые определяются следующим образом.

Пусть X — случайная переменная с набором возможных отсчетов Для из пусть вероятность того, что исход какого-то единичного эксперимента равен Тогда среднее значение равно

а дисперсия составит

Отметим, что усредненное значение исхода при стремлении числа экспериментов к очень большой величине приближается к среднему значению, приведенному выше. В свою очередь усредненное значение квадрата разности между значением отсчета и средним значением при большом количестве экспериментов стремится к дисперсии. Таким образом, дисперсия является мерой разброса возможных исходов относительно среднего значения. Для переменной с биномиальным распределением и параметрами распределения и среднее значение равно , а дисперсия равна По определению среднеквадратичным отклонением случайной переменной называют корень квадратный из ее дисперсии.

Будем говорить, «то случайная переменная ведет себя как нормальная переменная, если она обладает следующими свойствами: вероятность того, что отсчет находится в пределах одного среднеквадратичного отклонения от среднего значения, больше 0,65; вероятность того, что отсчет находится в пределах двух среднеквадратичных отклонений от среднего значения, больше 0,95; вероятность того, что отсчет находится в пределах трех среднеквадратичных отклонений от среднего значения, больше 0,995. Многие случайные переменные, которые встречаются в РТ, ведут себя подобным образом.

Важность понятия нормальной случайной переменной состоит в следующем. Часто требуется оценить среднее значение по одному или многим отсчетам. В 95 случаях из 100 среднее значение нормальной случайной переменной будет находиться в пределах двух среднеквадратичных отклонений от значения отсчета. Эквивалентным утверждением является следующее: доверительность того, что среднее значение находится в пределах двух квадратичных отклонений от значения отсчета, равна . Если мы обладаем методом оценки среднеквадратичного отклонения (а мы часто обладаем этим), тогда, имея результаты одной выборки, можно сказать, что имеется 95%-ная доверительность того, что математическое ожидание находится от выборки в пределах от плюс до минус удвоенное среднеквадратичное отклонение. Аналогично можно сказать, что имеется 99,5%-ная доверительность того, что математическое ожидание находится от выборки в пределах от плюс до минус три среднеквадратичных отклонения. Можно показать, что при условии, когда пр велико (больше 10), биномиальное распределение ведет себя как нормальное.

Наконец, мы рассмотрим функции случайных переменных. В РТ неоднократно встречаются функции, аргументами которых являются выборки случайных переменных. Например, число фотонов, зарегистрированных счетчиком за время измерения, является случайной величиной, которую мы обозначим бухвой D. Чтобы исключить вариации интенсивности источника рентгеновского излучения, число фотонов, зарегистрированных детектором, обычно делят на число фотонов эталонного, или опорного, детектора, которое также является выборкой случайной переменной R. Множество всех исходов сложного эксперимента по счету фотонов детектором, счету фотонов контрольным детектором и отношения первого числа ко второму образует случайную переменную N. Предположим, что число фотонов, сосчитанных любым детектором, положительно. Пусть вероятности того, что фотонов сосчитаны детектором и контрольным детектором соответственно. Тогда возможные исходы сложного эксперимента являются положительными рациональными числами, и вероятность того, что исход составного эксперимента есть определяется выражением

В этом случае говорят, что случайная величина получается делением случайной переменной на случайную переменную

Аналогично, если X — случайная переменная с множеством возможных исходов, составляющих положительные числа, то — случайная переменная, для которой множество возможных исходов составляет натуральные логарифмы элементов, причем для получим Другие понятия теории вероятности будут рассмотрены по мере надобности.