14.4. АЛГОРИТМ ТРЕХМЕРНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРОЦЕДУРЕ БАЙЕСОВСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Перейдем теперь к рассмотрению такого алгоритма реконструкции, который не требует при выводе использования заведомо неверных (или приближенно справедливых) предположений о конфигурации ДПР. При этом мы произведем существенное заимствование материала из разд. 11.3, в котором описан аналогичный алгоритм реконструкции поперечных сечеиий, а именно аддитивный алгебраический алгоритм реконструкции, предназначенный для получения байесовской оценки, минимизирующей соотношение (11.26).

Предположим, что реконструкция трехмерного объекта производится в отдельные моменты времени, а функция описывает данный эффект. В настоящем разделе в качестве элементарных объектов будут использоваться объекты, определяемые в соответствии с формулой (14.4). Таким образом, Функция будет представлять собой -мерный вектор изображения где равно среднему значению в пределах элемента объема.

Для эффективного использования данного представления необходимо, чтобы размеры элементов объема были малы, поэтому число компонент вектора должно быть достаточно велико. Что касается использованного нами фантома, то он состоял из слоев элементарных объемов, параллельных плоскости вращения источников. В каждом слое содержалось

127 х 127 элементарных объемов для «заполнения» всей грудной клетки, причем для «заполнения» миокарда требовалось 63 слоя. В своей работе мы использовали лишь 39 центральных слоев, которые «заполняли» большую часть левого желудочка. Таким образом, вектор имел 629031 компоненту (39 слоев из 127 х 127 элементарных объемов) в любой момент времени. Целью применений алгоритма реконструкции является вычисление вектора по имеющимся исходным данным, причем для реконструкции одного полного цикла сокращения сердца требуется около 60 последовательных временных выборок.

В разд. 11.3 было показано, что при определенных предположениях, описываемых соотношениями (11.38) и (11.39), алгоритм дает последовательность векторов, сходящихся к байесовской оценке . Тот же алгоритм в принципе можно использовать и в случае конического пучка.

Необходимо заметить, что, несмотря на чрезвычайно большой объем вычислений (в нашем случае вектор имеет около полумиллиона компонент), рассмотренный алгоритм применим даже для расчетов на мини-ЭВМ, что возможно благодаря учету главных геометрических особенностей задачи. Детали вычислений мы опускаем, но предупреждаем неискушенного читателя о том, что практическая реализация данного алгоритма в значительной степени зависит от организации в ЭВМ массивов данных, содержащих значения (вектор вообще не требует запоминания, поскольку его компоненты вычисляются по мере надобности). На практике для уменьшения числа обращений к дисковой памяти использовался слегка измененный вариант указанного алгоритма.

Отметим, что данный алгоритм применяется в сочетании с конической конфигурацией системы регистрации исходных данных и подтверждается теорией, даже несмотря на то, что источники располагаются на дуге всего 162° и часть объекта выпадает из конуса рентгеновских лучей. С другой стороны, теория основывается на предположении о гауссовом законе распределения случайных величин (разд. 11.3), которые, вероятно, на практике нарушаются, однако, несмотря на это, получающаяся схема нахождения оценки математически привлекательна.

Другой важный вопрос, который до сих пор не затрагивался, относится к выбору ожидаемых значений в формуле (11.26)

Вектор изображения представляет собой выборки случайной функции с математическим ожиданием Массив А формировался путем усреднения по времени проекций, что подтверждает целесообразность реконструкции изображения с использованием массива А в качестве вектора

Массив А содержит 240 проекций, полученных в конических пучках для случая, когда источник занимает ряд положений на окружности; поэтому возражения относительно ограничения глубины поля зрения к массиву А не относятся. Использование алгоритма, который применим для веерного пучка, приводит к возникновению размытости между отдельными срезами (рис. 14.7), что приемлемо для наблюдаемого изображения. Единственное оставшееся возражение против использования алгоритма реконструкции

сверточного типа для веерного пучка состоит в том, что исходные данные имеют ограниченную ширину поля зрения.

К счастью, существуют эффективные алгоритмы предварительной обработки исходных данных с ограниченной шириной поля зрения, что позволяет применить к ним алгоритм реконструкции сверточного типа для веерного пучка. Мы выбрали один из этих алгоритмов, который предусматривает проведение следующих операций.

Для каждого положения источника проекции, полученные в расходящемся пучке, дополняются с обеих сторон значениями лучевых сумм на дополнительных лучах, так что область реконструкции после дополнения оказывается заключенной между двумя крайними лучами. Лучевые суммы на дополнительных лучах принимаются равными линейным интегралам (вдоль луча) для диска с постоянной плотностью и с центром, совпадающим с началом координат. Плотность в упомянутом диске вычисляется раздельно для различных краев дополненной проекции, причем значение на одном краю проекции наилучшим образом (в смысле, определяемом по методу наименьших квадратов) сопряжено со значениями лучевых сумм, первоначально измеренных на пяти крайних лучах. Как можно будет убедиться ниже, даже такая довольно грубая экстраполяция дает реконструированные изображения приемлемого качества.

Преобразуя полученный в коническом пучке массив А во множество данных веерного типа (как это указано на рис. 14.7) и дополняя указанные данные по слоям, чтобы избежать эффектов ограничения ширины поля зрения, можно при использовании сверточного алгоритма для расходящегося пучка (разд. 10.1) получить величину слой за слоем.

Величину можно оценить при помощи фантома (или фантомов) для аналогично тому, как мы пытались реконструировать и определяли где I — стандартное отклонение компонент вектора стандартное отклонение компонент вектора