9. Другие алгоритмы реконструкции, основанные на преобразованиях для параллельного пучка

В данной главе обсуждаются два различных алгоритма реконструкции по исходным данным, полученным в схеме с параллельным пучком, а именно алгоритм Фурье и алгоритм, в котором сначала выполняют обратное проецирование, а затем фильтрацию данных в фурье-пространстве. Оба упомянутых алгоритма основаны на использовании двумерного преобразования Фурье, к рассмотрению которого мы и переходим.

9.1. ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Двумерное преобразование Фурье представляет собой оператор, который ставит в соответствие одну комплекснозначную функцию двух полярных координат другой комплекснозначной функции (также двух полярных координат) согласно определению

Двумерное обратное преобразование Фурье представляет собой оператор, который ставит в соответствие одну комплекснозначную функцию двух полярных координат другой комплекснозначной функции (также двух полярных координат) согласно определению

Для многих функций, в том числе и встречающихся в данной книге (в тех случаях, когда это не оговорено особо), имеет место соотношение

Аналогично тому, как мы поступали в одномерном случае [формула (8.30)), функцию двух полярных координат можно разложить на гармонические составляющие по двум переменным; двумерный фурье-образ при этом характеризует сами гармоники. Поясним это более подробно.

Пусть функция двух полярных координат, двумерный

фурье-образ. Из выражений (9.2) и (9.3) следует, что

где аргумент функции При любых фиксированных значениях функции вида являются гармоническими функциями двух полярных координат имеющими пространственную частоту направление амплитуду и начальную фазу

Как же выглядит гармоническая функция двух полярных координат? Заметим вначале, что если зафиксировать координату то результирующая функция достанется гармонической с теми же амплитудой начальной фазой и пространственной частотой Так, на линии проходящей через начало координат и образующей угол с положительным направлением оси (линия упомянутая гармоническая функция имеет пространственную частоту На любой линии, перпендикулярной (т.е. описываемой уравнением вида где константа), гармоническая функция двух полярных координат постоянна (рис. 9.1).

Если функция достаточно плавная, амплитуды гармоник на высоких пространственных частотах в разложении (9.4) малы. Говорят, что функция ограничена по пространственной частоте, если при справедливо равенство — положительное вещественное число, называемое шириной полосы пространственных частот функции (см. аналогичные определения для функции одной переменной в разд. 8.4).

Весьма любопытны и полезны свойства двумерного фурье-образа, играющие важную роль при реконструкции изображений и нашедшие свое выражение в так называемой теореме о проекциях. Последняя устанавливает фундаментальное соотношение между преобразованием Радона, двумерным преобразованием Фурье и оператором представляющим собой двумерный аналог одномерного преобразования Фурье, определямого следующим образом. Пусть функция двух переменных, а описывается соотношением (8.11) в виде ; тогда другая функция двух переменных, определяемая соотношением

Другими словами, представляет собой фурье-образ по первой переменной,

Рис. 9.1. Гармоническая функция двух полярных координат с пространственной частотой и направлением зафиксированная на линии является гармонической функцией переменной с пространственной частотой На любой линии, перпендикулярной и описываемой уравнением значения гармонической функции двух полярных координат постоянны.

Теперь теорему о проекциях можно записать в форме операторного соотношения вида

Таким образом, вычисление двумерного фурье-образа сводится к преобразованию Радона, а затем к операции вычисления фурье-образа по первой переменной. Теорема о проекциях непосредствено вытекает из определений преобразований Фурье и Радона. Детали доказательства мы опускаем.