14. Реконструкция изображения трехмерного объекта

Если требуется реконструировать трехмерный объект, используя при этом алгоритмы, рассмотренные в предыдущих разделах, то нам представляется единственная возможность — получить отдельные сечения объекта, а затем синтезировать по ним трехмерное распределение. Подобный способ реконструкции может породить целый ряд проблем, основная из которых связана с большими затратами машинного времени. В течение времени, необходимого для регистрации полного объема данных, пациент может шевелиться, что будет приводить к рассогласованию сечений. Более того, для движущихся органов, таких, как легкие и в особенности сердце, постоянные смещения являются неизбежными, поэтому в принципе необходимо регистрировать исходные данные по всем сечениям одновременно.

В ряде случаев эволюция объекта во времени содержит в себе полезную информацию. Если требуется следить за движением стенки сердца или за распространением радиоактивных контрастирующих веществ в системе кровообращения, то возникает важная задача реконструкции полного трехмерного объекта за достаточно короткий отрезок времени. Таким образом, при этом можно говорить о четырехмерной (пространственно-временнбй) реконструкции изображения.

Из всех схем сканирования, рассмотренных в разд. 3.4, лишь пятая схема (рис. 3.3,д) пригодна для получения подобной информации. В данной главе будут рассмотрены алгоритмы реконструкции изображения по данным, зарегистрированным именно в данной схеме.

14.1. РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В РЯД ПО ТРЕХМЕРНОМУ БАЗИСУ

Для описания трехмерных объектов воспользуемся цилиндрической системой координат, или, другими словами, будем характеризовать каждую точку объекта набором трех чисел При этом предполагается, что имеется ось (т.е. бесконечно протяженная прямая линия), вдоль которой отсчитывается координата Множество точек с координатами где фиксировано, а координаты меняются, образует плоскость, перпендикулярную оси и пересекающую ее в точке Особо выделим координаты считая их полярными координатами на плоскости с началом координат в точке ее пересечения с осью

Заметим, что указанная система координат представляется наиболее естественной, рассматривая трехмерный объект в виде набора поперечных сечений, причем каждое из них является плоскостью с фиксированным значением а значения трехмерной функции объекта, ограниченные данной плосхостью, являются функцией двух полярных координат

Будем предполагать, что все подлежащие реконструкции объекты имеют конечные размеры. Говоря более строго, при этом предполагается, что существуют такие постоянные величины для которых

где функция Задает значения реконструируемого объекта в точках с координатами

В настоящей книге рассматриваются лишь те алгоритмы реконструкции истинно трехмерных объектов, которые связаны с методом разложения функций в ряд. Как и в случае двумерной реконструкции, мы будем предполагать наличие фиксированного множества из У элементарных объектов линейная комбинация которых дает приемлемое приближение к любому реальному объекту, описываемому функцией и изображение которого необходимо реконструировать.

В качестве примера подобного подхода, который соответствует технике дискретизации на и элементов, рассмотрим следующую модель. Пусть — положительное вещественное число, целое число, причем

Куб, центр которого совпадает с началом цилиндрической системы координат (0, 0, 0) и который имеет четыре грани, параллельные оси с размерами сторон ограничивает область пространства, внутри которой функция отлична от нуля. Мы делим данный куб на ( меньших кубов размером с с каждый, которые называем элементами объема (или сокращенно злобами, разд. 2.4). Пусть

Пронумеруем элементы объема числами от 1 до и введем функцию вида

Используемая нами аппроксимация функции объекта определяется выражением

где среднее по элементу объема значение функции

Имеется и другой способ выбора базисных объектов, основанный на разложении изображения на кольцевые гармонические составляющие (разд. 13-1). Суть метода состоит в следующем. Пусть положительные вещественные, положительные целые числа, такие, что

Пусть также

При существует единственное значение и в интервале единственное значение в интервале а также единственное значение в интервале для которых справедливо соотношение

Значения удовлетворяющие соотношению (14.8), будут обозначены соответственно, однако в тех случаях, когда это не вызывает путаницы, индексы будут опускаться.

Определим при базисный объект с помощью выражения вида

где и определяют, исходя из выражений (13.12) и (13.13), а

0 для остальных с.

Заметим, что последнее определение для случая является математическим формализмом, не играющим никакой роли при дальнейшем рассмотрении.

Каждый из рассматриваемых базисных объектов, описываемых соотношением (14.9), равен нулю вне параллелепипеда высотой с, а внутри его он аналогичен величине базисного изображения, понятие о котором использовано нами при разложении картины на кольцевые гармоники. Поскольку интересующие нас характеристики объекта, к сожалению, существенно меняются с изменением на величину с или меньше, то приведенные в разд. 13.1 аргументы в пользу возможностей аппроксимации изображения разложением по кольцевым гармоникам можно распространить на случай аппроксимации объекта линейной комбинацией функций, определенных соотношением (14.9).

Как и в двумерном случае, элементарные объекты, определяемые функцией (14.4), оказываются более удобными для представления и отображения полученных результатов, в то время как базисные объекты, определяемые выражением (14.9), приводят к решению системы нормальных уравнений, которые удачно разрешаются вычислительными средствами. Пояснения будут приведены в следующем разделе.

Следуя рассуждениям разд. 6.3, будем предполагать, что имеется множество из линейных непрерывных функций вещественного переменного, которые отображают объект на вещественные числа. Обозначив через матрицу размером элемент которой равен окончательно получим формулу вида

[которая аналогична формуле (6.24)], в которой -мерный вектор измерений, компонента которого равна измеренному значению -мерный вектор изображения, который необходимо найти при помощи соотношения (14.5) в виде оценки функции объекта -мерный вектор погрешностей. Таким образом, проблему вновь можно сформулировать в следующем виде. Заданы данные у; оценить вектор изображения

В реконструктивной томографии значения обычно определяются следующим образом: предполагается существование прямых линий, называемых лучами и пронумерованных в пределах от 1 до которые соединяют в трехмерном пространстве источник и приемник рентгеновского излучения. Для произвольного объекта, описываемого функцией величина является интегралом от вдоль луча. Приведенные в разд. 6.3 предположения о непрерывности не всегда выполняются при тех значениях при которых они справедливы также и в данном случае.

Все ранее обсуждавшиеся методы решения системы уравнений (14.11) в принципе можно использовать и в трехмерном случае, однако при этом усложняются проблемы, связанные с требуемым объемом вычислений, поскольку значения приблизительно в 10 — 100 раз больше в трехмерном случае, чем в двумерном. Во время написания данной книги имелось лишь небольшое число работ, посвященных сравнению различных методов разложений в ряды для реконструкции трехмерных изображений; поэтому рассмотренный в следующем разделе один частный подход к этой проблеме необходимо рассматривать лишь как пример реализации, а не как рекомендуемый алгоритм.