1. Введение

В данной главе рассмотрим некоторые из многочисленных областей науки, в которых можно использовать методы, описываемые в книге, а также познакомим читателей с рядом понятий статистической теории, которые являются необходимыми для понимания большей части излагаемого материала.

1.1. РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ПРОЕКЦИЯМ

Проблема восстановления изображений по их проекциям неоднократно возникала за последние 25 лет в различных отраслях науки, техники и медицины. Диапазон применения необычайно широк и простирается от проблемы получения изображений молекулярных структур бактериофагов по данным электронной микроскопии до восстановления структур газовых туманностей в рентгеновском излучении по экспериментальным данным, собираемым исследовательскими ракетами за пределами земной атмосферы. Эти, казалось, совершенно различные применения, подобно многим другим, о которых здесь следовало бы упомянуть, имеют одинаковые математические и вычислительные основы. Цель данной книги состоит в рассмотрении этих основ.

Из всех этих применений, очевидно, наибольший эффект во всем мире получила медицинская диагностика: реконструктивная томография (РТ) вызвала революцию в радиологии. Изображения поперечных сечений человеческого тела в настоящее время получают по данным об ослаблении рентгеновского излучения вдоль большого числа направлений, лежащих в плоскости данного сечения. В большинстве разделов данной книги РТ используют в качестве исходной схемы для объяснения постаовки проблем и ее решения. Поэтому в данном разделе о РТ будет сказано очень мало. Основное внимание уделено обзору многочисленных случаев использования реконструкции изображения по проекциям в других областях науки и техники.

Чтобы изложить идеи, лежащие в основе этого метода, рассмотрим упрощенную искусственную задачу. Решение этой задачи пока не имеет какого-либо практического значения, хотя она очень похожа на задачу, встречающуюся в астрофизике (и излагаемую ниже): она объединяет в себе основную структуру всех других применений методов восстановления изображений по проекциям.

Пусть кадр в форме прямоугольника содержит внутри себя некоторые источники света. Простейшим примером является экран телевизора с находящимся на нем неподвижным изображением. Пусть имеется «детектор», при помощи которого можно измерять суммарную интенсивность света от этого изображения. Этот детектор, конечно, не позволяет определить структурные детали картины. Один из путей получить информацию о деталях картины — сделать «коллиматор», вырезав небольшое квадратное отверстие в непрозрачном экране, и поместить этот коллиматор перед картиной. Тогда детектор измерит свет, исходящий только от небольшой области картины, находящейся за отверстием коллиматора. Передвигая данное отверстие дискретно по всей плоскости картины и каждый раз измеряя интенсивность, можно построить изображение этой картины. Такое изображение будет составлено из небольшого числа областей квадратной формы, яркость которых пропорциональна средней интенсивности в соответствующей области на исходной картине. Коллиматор перемещают таким образом, что небольшие квадратные области примыкают друг к другу и покрывают всю картину. В таком случае результирующее изображение, называемое ниже картиной дискретизации или матрицей изображения, схоже с исходной картиной, если коллиматор достаточно мал. Это показано на рис. 1.1.

Допустим теперь, что такое квадратное отверстие в непрозрачном экране вырезать невозможно. Может показаться, что и получить изображение картины невозможно. Однако на помощь нам приходит метод реконструкции изображения по проекциям. На этой простой задаче проиллюстрируем процессы «получения проекционных данных» и «реконструкцию» изображения.

Процесс получения проекций в этом случае состоит в передвижении непрозрачного экрана по картине на малые дискретные интервалы в заданном направлении. После каждого передвижения измеряется полная интенсивность света, идущего в детектор ото всей незакрытой поверхности картины. Если из величины измеренной полной интенсивности в какой-то момент

Рис. 1.1. Три разные дискретизации (матрицы изображения) одной и той же картины. а — матрица изображения размером 243 х 243; б - матрица изображения размером ; в — матрица изображения размером 27 х 27.

Рис. 1.2. (см. скан) Процесс получения проекции. Линейный интеграл яркости вдоль центральной линии полосы (показанной на рисунке полуосвещенной) оценивается как отношение полной яркости этой полосы к ее ширине.

вычесть величину полной интенсивности в предыдущем измерении, то получим полную интенсивность света для каждой из взаимно параллельных и примыкающих друг к другу узких полос с известной координатой (рис. 1.2). Теперь повторим процесс передвижения непрозрачного экрана в каком-либо другом направлении. Таким путем получим полную интенсивность света для множества параллельных, примыкающих друг к другу узких полос с известными координатами. Оценим линейный интеграл яркости изображения вдоль центральных линий этих полос как отношение полной яркости к ширине полосы. Выполняя эту процедуру многократно, например 90 раз, меняя каждый раз направление движения непрозрачного экрана на 2°, получим серию из достаточно большого числа таких измерений. Каждую такую серию оценок линейных интегралов называют проекцией (по причине, которая станет ясной ниже), а совокупность всех оценок линейных интегралов дальше называют проекционными данными.

Изображение картины получают в процессе реконструкции по ее проекционным данным. О том, как это делают, сказано в данной книге ниже. На рис. 1.3 приведена для сравнения матрица изображения размером 81 х 81 и матрица реконструкции размером 81 х 81, полученная по 90

Рис. 1.3. Сравнение матрицы исходного изображения размером 81 х 81 (а) и матрицы изображения размером 81 х 81, реконструированной по 90 проекциям со 121 отсчетом в каждой проекции (б).

проекциям и по 121 оценке линейного интеграла в каждой из этих проекций.

Этот пример иллюстрирует упрошенное определение, приведенное ниже. Хотя выражение «реконструкция изображения по проекциям» охватывает не все ситуации (например, в гл. 14 обсуждается трехмерная реконструкция), оно вполне достаточно для изложения нашего подхода к восстановлению изображений на всем протяжении книги.

Реконструкция изображений по проекциям есть процесс получения изображения двумерного распределения (как правило, некоторой физической величины) по оценкам его линейных интегралов вдоль конечного числа линий с известным положением.

Рассмотрим применения метода в реальной жизни. Порядок, которому мы следуем, определяется размерами объектов, изображение которых необходимо восстановить; читателя предупреждают, что нижеследующее никоем образом не может рассматриваться как исчерпывающий обзор всех возможных применений метода восстановления изображений по проекциям.

В действительности наша простая искусственная задача имеет близкий аналог в астрофизике. Существующие приборы для измерения распределения яркости источников радиоизлучения в небе имеют настолько низкую разрешающую способность, что не могут удовлетворить ученых той информацией, которую эти ученые ищут. Однако, когда луна движется по той части небосвода, которая представляет для нас интерес, ее действие аналогично действию непрозрачного экрана в рассмотренном выше примере. Направление движения луны по небосводу меняется день ото дня, представляя нам ряд проекций, которые в астрофизике называют профилями линий, полученных при наблюдении лунного покрытия. По этим наблюдениям можно восстановить двумерное распределение источников радиоизлучения.

Рассмотрим более подробно еще одно применение в астрофизике. Пусть нас интересует восстановление рентгеновской структуры астрономического

Рис. 1.4. (см. скан) Вид с трех сторон аппаратуры, установленной на ракете при проведении измерений проекций остатка сверхновой в созвездии Парусов. (Фотография предоставлена д-ром Г. П. Гармиром.)

объекта в виде остатка сверхновой. Один из путей сделать это — запустить ракету за пределы атмосферы и при помощи нее получить проекции яркости небесной сферы в рентгеновском диапазоне. На рис. 1.4 представлены приборы, которые были использованы при проведении подобных измерений остатка сверхновой в созвездии Парусов. На рис. 1.5 показаны траектории ракеты на небесном своде. Во время полета ракеты с ее помошью получают данные одновременно по двум проекциям. Для оценки линейных интегралов яркости в рентгеновском излучении в каждой точке, указанной на рис. 1.5, собирают данные по двум направлениям, которые составляют угол 45° с отрезком траектории ракеты и пересекаются с этим отрезком траектории в указанной точке. Поэтому пять участков траектории ракеты дают сведения о десяти проекциях. Восстановленная по проекциям

Рис. 1.5. Участок неба, содержащий остаток сверхновой в созвездии Парусов, с наложенной на него сеткой из 135 ячеек. Цель измерения — восстановить интенсивность рентгеновского излучения в каждой ячейке. Данные получают с помощью ракеты, запушенной за пределы атмосферы. На разных участках траектории полета, указанных на рисунке, одновременно получают две проекции яркости поверхности в рентгеновском излучении. (Воспроизводится из работы [122] с разрешения авторов.)

карта яркости в рентгеновском диапазоне, приведенная на рис. 1.6, наложена на фотографию остатков сверхновой в созвездии Парусов, полученную в ультрафиолетовом диапазоне.

Было найдено, что восстановление изображений по проекциям представляет интерес для специалистов по физике Солнца. Корона Солнца является трехмерным объектом. Имеется аппаратура для измерения интегральной плотности электронов вдоль прямой Солнце — Земля. Используя подобную аппаратуру, можно получить двумерное изображение, в котором

Рис. 1.6. (см. скан) Реконструированная по проекциям карта в рентгеновском излучении наложена на фотографию неба с остатком сверхновой в созвездии Парусов, снятую в ультрафиолетовом диапазоне. Каждая полоска в ячейке соответствует 0,5 стандартного превышения над фоном. (Воспроизводится из работы [122] с разрешения авторов.)

яркость каждой точки примерно пропорциональна полной плотности электронов вдоль одной из многих (для всех практических целей) параллельных линий. Такое изображение является двумерной проекцией трехмерного распределения плотности электронов. Предыдущие примеры были существенно иными. Там измерялись одномерные проекции двумерных распределений. Так как Солнце вращается вокруг своей оси, то мы получаем проекции по различным направлениям, и по этим проекциям можно получить трехмерное

(кликните для просмотра скана)

Рис. 1.8. Полученная путем реконструкции картина Солнца с точки, находящейся над северным полюсом Солнца на оси его вращения. (Иллюстрация предоставлена д-ром М. Д. Альтшулером.)

распределение плотности электронов. На рис. 1.7 приведена оценка распределения плотности электронов на сферической поверхности несколько большей диска Солнца. Оно было получено в результате измерений, проведенных в течение 14 дней, т.е. половины времени, за которое Солнце совершает полный оборот вокруг своей оси. Было найдено, что нулевые величины между пиками соответствуют солнечным северным сияниям, а низкие значения — дырам в короне. На краю Солнца на двумерных проекциях эти дыры в короне нельзя увидеть, так как они обычно накладываются на «северные сияния», проекции которых доминируют. Восстановленные изображения плотности электронов в короне также были использованы для получения изображения Солнца в тех направлениях, под которыми его невозможно видеть с Земли. На рис. 1.8 представлен вид Солнца, полученный с помощью ЭВМ на основе трехмерного восстановления с точки, находящейся над северным полюсом Солнца на оси его вращения.

У себя на земле мы обнаружим достаточно широкий диапазон применений методов восстановления изображений по проекциям, как, например, при оценке концентраций определенных типов загрязнения воздуха. Ограничимся примером на рис. 1.9 и не будем больше обсуждать другие области применения, а также сконцентрируем свое внимание на самой широкой области применения методов восстановления изображений по проекциям — на медицинской диагностике.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 1.10. (см. скан) Эскиз типичного сканера для реконструктивной томографии. (Иллюстрация предоставлена фирмой General Electric.)

Рентгеновская трансмиссионная реконструктивная томография (РТ) рассматривается подробно в последующих главах. Здесь изложим ее суть при помощи двух рисунков. На рис. 1.10 приведен эскиз типичной установки для получения данных, необходимых для рентгеновской РТ. Рентгеновская трубка содержит единственный источник излучения, а приемная система содержит несколько детекторов рентгеновского излучения. Пусть рентгеновская трубка и коллиматор расположены по одну сторону от пациента, а детекторная система — по другую и обе они неподвижны, а пациент помещен на стол, который вращается с постоянной угловой скоростью. Облучая пациента веерным пучком рентгеновского излучения через . Явные интервалы времени и детектируя рентгеновское излучение на другой стороне, можно построить двумерную рентгеновскую проекцию некоторой области тела пациента, которая весьма сходна с изображением на обычной рентгеновской пленке. Подобная проекция представлена на рис. 1.11, а. Точечная яркость является показателем полного поглощения Рентгеновского излучения на пути от источника к детектору. Такой способ получения изображения не является РТ, а лишь одна из альтернатив метода

Рис. 1.11. (см. скан) а — индикатор рентгенограммы типа Scout View (торговая марка фирмы General Electric), (штриховой линией указано положение томографической плоскости, в которой были получены синограммы); б - синограмма проекционных данных; в — сннограмма данных свертки; г - реконструктивная томограмма. (Иллюстрации предоставлены д-ром Г X. Гловером.)

получения изображения с помощью рентгеновского излучения. В методе РТ пациент неподвижен, а рентгеновская трубка и детекторная ферма вращаются вместе вокруг пациента. Веерный пучок рентгеновского излучения от источника к детектору определяет плоскость сечения тела пациента. На рис. 1.11, а местонахождение этой плоскости показано штриховой линией. Экспериментальные данные отсчитывают в моменты времени, когда источник и детектор занимают последовательно ряд фиксированных положений, называемых ракурсами. Для каждого ракурса измерения отсчитывают всеми детекторами. Показания всех детекторов для всех ракурсов представляют собой синограмму (рис. 1.11,б). Интенсивности синограмм пропорциональны линейным интегралам распределения коэффициента поглощения рентгеновского излучения между соответствующими источником и детектором.

Рис. 1.12. Одна из возможных систем тракта протонного пучка. (Воспроизводится из работы [59] с разрешения автора.)

По этим линейным интегралам при помощи алгоритма реконструкции изображения можно получить двумерное изображение распределения коэффициента поглощения рентгеновского излучения в этом слое тела пациента. Такое изображение представлено на рис. 1.11, г. Поскольку коэффициенты поглощения рентгеновского излучения у разных тканей различны, имеется возможность очертить границы органов и отличить здоровую ткань от опухолей. Так при помощи РТ получают информацию о слоях поперечных сечений человеческого тела без хирургического вмешательства. [Снимок на рис. 1.11, в является синограммой «свернутых проекционных данных», смысл которых будет объяснен формулой (10.12).]

Альтернативой, пока еще не внедренной в повседневную медицинскую практику, является применение той же основной процедуры с использованием протонов вместо рентгеновского излучения. Блок-схема проекта дана на рис. 1.12. Предложение базируется на утверждении, что восстановленное изображение того же качества можно получить при значительно меньших дозах, получаемых пациентом за время процедуры, и соответственно меньшем риске для здоровья пациента (рис. 1.13).

Одним из методов получения томограмм по проекциям, не даюшим заметного вредного воздействия на пациента, является использование ультразвука. На рис. 1.14, а приведена фотография аппаратуры, которую используют для получения экспериментальных данных и восстановления изображения по проекциям при заболеваниях молочных желез у женщин. При подобных физических измерениях можно по линейным интегралам получить сведения как о показателе преломления, так и о коэффициенте поглощения ультразвука. По этим измерениям можно восстановить два изображения: одно — соответствующее распределению показателя преломления в определенном сечении, а другое — распределению поглощения ультрафиолетового

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 1.15. Изображение тест-объекта, который использовался для получения реконструкции методом ядерного магнитного резонанса, а также выборочные спектры частот, являющиеся проекционными данными. (Воспроизводится из работы [99] с разрешения авторов.)

большое количество информации о природе опухолей молочной железы, если они имеются. На рис. 1.14, г два полученных таким образом изображения железы, удаленной оперативным путем, сравниваются с соответствующим изображением неудаленной железы. Кроме того, на рис. 1.14 приведены блок-схема сбора данных и управления от ЭВМ, а также схема геометрии сканирования.

Другим перспективным для медицинской диагностики методом сбора данных и реконструкции изображения по проекциям является метод, основанный на использовании явления ядерного магнитного резонанса. Когда объект исследования помещен в градиентное магнитное поле, то резонансная частота магнитного резонанса от ядер или неспаренных электронов зависит от величины приложенного в данном месте магнитного поля, а также от взаимодействия молекул, которое обычно изучают методами магнитного резонанса. Суммарный сигнал от области пересечения поверхности постоянного магнитного поля трехмерного объекта является одним элементом одномерной проекции трехмерного сигнала. В поле с постоянным линейным градиентом график таких сигналов от частоты является одномерной

Рис. 1.16. Изображение тест-объекта рис. 1.15, реконструированное по 180 проекциям методом ядерного магнитного резонанса. (Воспроизводится из работы [99] с разрешения авторов.)

проекцией полной интенсивности сигнала в направлении, перпендикулярном вектору градиента. Если изменять направление градиента поля, то можно получать данные и о других проекциях, а по ним восстановить двух- или трехмерные изображения объектов. Для примера на рис. 1.15 приведены макетный объект в виде пластмассового диска диаметром 14 мм с N-образной полостью в нем, заполненной водой, а также графики нескольких проекций, которые были получены методом ядерного магнитного резонанса. Реконструированное изображение этого макетного объекта приведено на рис. 1.16.

Эмиссионная реконструктивная томография имеет своей целью количественно определить временные изменения в химических процессах и физиологических потоках инъектированных или вдыхаемых соединений, меченных радиоактивными ядрами. В этом случае распределение, которое необходимо восстановить, соответствует распределению радиоактивности в сечении тела, а измерения используются для оценки общей активности вдоль линий с известным положением. На рис. 1.17 и 1.18 приведены снимки установки Лаборатории Доннер Университет (шт. Калифорния, Беркли, США). Подобных установок, которые используются в повседневной медицинской практике, во всем мире имеется довольно много.

Отвлекаясь от медицинских аспектов, следует отметить, что реконструкция изображений по проекциям оказалась весьма полезной при неразрушающем контроле. Например, снимки, полученные с помощью пучков нейтронов на просвет, можно использовать для восстановления изображений, а следовательно, инспекции топливных узлов ядерных реакторов-размножителей

Рис. 1.17. (см. скан) Система эмиссионной реконструктивной томографии Лаборатории Доннер, в которой используется 280 сцинтилляционных детекторов, размещенных вокруг пациента.

Экспериментальные данные, необходимые для оценки ленейных интегралов распределения радиоактивности в пациенте, одновременно снимаются для 240 проекций по 103 линий в каждой. (Иллюстрация предоставлена д-ром Т. Ф. Бааннгером.)

на быстрых нейтронах, которые находятся внутри стальных связок, допускающих проверку. На рис. 19, а показана топливная связка с 91 тепловыделяющим элементом, которая помещена в стальной гексагональный канал, не показанный на рисунке. В этом узле находятся три контрольных элемента, которые в сечении при реконструкции изображения должны давать пустые места. (Именно этот дефект мы ищем). Типичный снимок этого топливного узла, получаемый с помощью нейтронов, показан на рис. 1.19, б. Изображение сечения, восстановленное по 20 таким снимкам топливного узла, приведено на рис. 1.19, е.

Примером использования метода восстановления по проекциям, когда «объект», изображение которого необходимо реконструировать, имеет размеры порядка сантиметров, является задача определения трехмерных полей температур при помощи голографической интерферометрии. Опуская описание этого метода, перейдем к объекту на микроскопическом уровне. На рис 1.20, а представлена электронная микрограмма бактериофага. Длина черной полосы внизу рисунка соответствует 1000 А . На рис. 1.20, б в области, ограниченной прямоугольником, часть отростка показана с еще большим увеличением. На рис. 1.20, в видна дифракционная

Рис. 1.18. Иллюстрации, показывающие принцип действия системы, используемой в Лаборатории Доннер для получения изображений ядер рубидия-82, накопленных в миокарде человека.

Внизу слева показано трансмиссионное томографическое изображение мнокарда и свода печени; на двух снимках справа — распределение ядер рубидия, по которым можно судить о коронарном потоке крови до и во время физической нагрузки. Отношение степени заполнения равно 1,7. (Иллюстрация предоставлена д-ром Т. Ф. Бааннгером.)

картина, создаваемая этой частью отростка. Модель строения этих объектов, полученная на основе оптического дифракционного анализа с низким разрешением, показывает, что сам отросток составлен из частей толщиной 38 А с аксиальной вращательной симметрией третьего порядка в виде стопки с углом скручивания 41,5°. Если предположить, что все эти сечения идентичны, то одна-единственная электронная микрограмма создает достаточно большое число проекций и тем самым делает возможным восстановление трехмерного изображения. На рис. 1.20, г показано такое трехмерное изображение, восстановленное по трем сечениям.

На этом закончим обзор некоторых применений метода восстановления изображений по проекциям. За исключением некоторых аспектов рентгеновской РТ, которые будут обсуждены ниже, остальная часть книги посвя щена теоретическим основам, а не применениям метода восстановления изображений по проекциям.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 1.20. (см. скан) Реконструкция отростка бактериофага Caulobacter crescentus . а — электронная микрограмма бактериофага (негативно окрашенная 1%-ным раствором уранилацетата). Длина полосы соответствует 1000 ; б - отростки бактериофага Площадь прямоугольника составляет в — дифракционная картина, производимая той частью отростка которая находится в указанном прямоугольнике. Стрелки указывают промежуток 1/38 А; г - реконструированное трехмерное изображение части отростка бактериофага содержащее три аксиальных периодических повторений (114 А). Длина полосы соответствует 50 А. (Иллюстрация предоставлена д-рами С. Паладопулосом и П. Р. Смитом.)