12.2. МЕТОД РИЧАРДСОНА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

В разд. 11.2 уже рассматривался метод нахождения решения о минимальной нормой для совместной системы уравнений, который, безусловно, применим и к системе (12.20). В данном разделе будут рассмотрены и некоторые другие методы.

Наводящими соображениями к поиску альтернативных алгоритмов реконструкции изображения является тот факт, что при использовании релаксационного метода решения систем уравнений с величиной параметра Релаксации, равной единице, удовлетворение одного из уравнений может

приводить к возникновению весьма заметных полос вдоль луча, соответствующего данному уравнению. Набор подобных полос будет визуально восприниматься как сильно зашумленное изображение, похожее на приведенное на рис. 11.2,г. В алгебраических алгоритмах реконструкции с этим явлением борются путем подбора оптимального значения параметра релаксации, а в альтернативном подходе это будет достигаться путем коррекции изображения по всем лучам одновременно. По этой причине последний метод считаете): относящимся к алгоритмам реконструкции с одновременными итерациями (SIRT). Различия между SIRT и подобными им алгоритмами касаются деталей, которые ввиду отсутствия места здесь не рассматриваются.

Одним из способов коррекции итерации для одновременной коррекции погрешностей во всех уравнениях является итерация вида

Отметим, что итерация подобного типа возможна лишь в случае, когда представляет собой квадратную матрицу, поскольку в противном случае размерности будут отличаться от размерности Итерационный метод, в котором итерация осуществляется в соответствии с выражением (12.21), в численном анализе получил название метода Ричардсона. Прежде чем исследовать указанный метод на сходимость, познакомимся с ним на двух примерах, рассмотренных в предыдущем разделе, что позволит нам получить представление о возможностях метода применительно к проблеме реконструкции изображений.

Если матрица положительно определенная, то матрицы задаются выражениями (12.10) и (12.11) соответственно. При определим как

Тогда из соотношений (12.10), (12.11) и (12.21) получаем, что

откуда

Из приведенного в предыдущем разделе анализа, в частности из комментариев к соотношению (12.13), следует, что если последовательность сходится к решению системы уравнений (12.20), то последовательность сходится к единственному значению которое минимизирует функцию Отметим, что алгоритм, использующий итерационную процедуру вида (12.24), не содержит величины и, а непосредственно формирует последовательность векторов которая сходится (по предположению) к искомому вектору изображения Отметим также, что данный алгоритм не предусматривает вычисления матриц или несмотря на то что содержится в функции а в процессе математического доказательства используется матрица

Для демонстрации справедливости рассмотренной выше процедуры рассмотрим функцию определенную в соответствии с выражением (11.26). При этом а соотношение (12.24) принимает вид

Данной итерационной процедуре можно дать прямую интерпретацию, исходя из теории реконструкции изображений. Текущая оценка вектора изображения изменяется при его сложении с другим -мерным вектором, имеющим две компоненты, одна из которых пропорциональна величине являющейся ничем иным, как дискретной обратной проекцией (разд. 7.3) разности между вектором измерений и проекцией, связанной с текущей, оценкой. При обратном проецировании указанной разности образуется -мерный вектор, который можно использовать для коррекции текущей, существующей оценки так, чтобы ее проекция стремилась к зарегистрированной проекции. Вторая компонента х-вектора равна и представляет собой разность между средним вектором априорного распределения и его текущим значением, которое можно использовать для получения более близкой к наблюдаемой в эксперименте величине оценки вектора изображения перед его измерениями. Относительная ценность этих двух компонент определяется множителем физический смысл которого будет раскрыт в разд. 11.3. Таким образом, из приведенного анализа следует, что метод Ричардсона в этом случае дает итерационную процедуру, функционирующую достаточно понятным образом.

В случае если то задаются с помощью выражений (12.17) и (12.18) соответственно. При определим как

Тогда из соотношений (12.17) и (12.18), а также (12.21) получаем

откуда

Из приведенного в предыдущем разделе анализа следует, что если последовательность сходится к решению уравнения с минимальной нормой то последовательность сходится к оценке которая минимизирует функцию и которая такова, что для любого другого значения минимизирующего выполняется условие Отметим, что и в этом случае алгоритм, включающий в себя процедуру итерации вида (12.28), не содержит величин и, а непосредственно формирует последовательность векторов изображений которые по предположению сходятся к искомому вектору изображения.

Теперь, когда мы убедились в возможности применения метода Ричардсона к проблеме реконструкции изображения, необходимо вернуться к самому важному вопросу: можно ли подобрать такой начальный вектор и такую последовательность параметров релаксации чтобы с помощью соотношения (12.21) получить последовательность векторов, которая сходилась бы к решению с минимальной нормой системы уравнений

Имеется целый ряд способов выбора параметров обеспечивающих сходимость (12.21) к решению системы уравнений (12.20). Ниже мы рассмотрим лишь наиболее простой метод, поскольку изложение математических аспектов, связанных с более сложными методами, выходит за рамки данной книги. В конце раздела будет рассмотрен немного более сложный способ подбора параметров кроме одного, который, как утверждается, дает лучшее приближение к искомому решению за конечное число итераций.

Вещественная величина называется собственным значением матрицы если существует такой ненулевой вектор и, что

Нетрудно заметить, что неотрицательно определенная матрица имеет лишь неотрицательные собственные значения. Величины мы будем использовать для обозначения наибольших и наименьших положительных собственных значений матрицы соответственно, для вычисления которых в случае произвольно заданной, неотрицательно определенной матрицы существуют стандартные методы.

Рассмотрим один из них. Для любого значения с помощью

алгоритма (12.21) формируется последовательность которая сходится к решению системы уравнений (12.20) при условии, что для всех имеем

где

Таким образом, выбор «оптимального» параметра X ведется по формуле

Полученное соотношение в сочетании с теоремой о минимальной норме, приведенной в разд. 11.2, показывает, что если величина выбирается в виде линейной комбинации из столбцов матрицы то полученная по методу Ричардсона последовательность с параметром определяемым с помощью соотношений (2.30) и (2.31), сходится к решению с минимальной нормой системы уравнений .

Несколько более сложен способ выбора параметров X, если заранее известно желаемое число проводимых итераций. Например, если нам известно, что общее число итераций равно четырем, то, вероятно, лучше взять следующую последовательность параметров Х:

нежели постоянное значение в формуле (2.32), причем