4. Моделирование при помощи ЭВМ данных в реконструктивной томографии

Построению алгоритмов восстановления изображений объектов по реально измеренным проекциям предшествовали теоретические разработки алгоритмов реконструирования математических моделей объектов (так называемых фантомов) по проекционным данным, полученным путем моделирования на ЭВМ. Это позволяло моделировать на ЭВМ отдельно различные явления, которые нельзя разделить в реальных условиях. Например, данные, получаемые при измерении рентгеновского излучения, всегда содержат шумы, обусловленные статистической природой процессов излучения и рассеянием фотонов, в то время как при моделировании можно оценить отдельно вклад в шумы, обусловленный каждым из этих факторов.

Как видно из предыдущей главы, программа, пригодная для адекватного моделирования процесса получения данных с использованием различных видов сканирования, оказывается довольно сложной. Однако за последние годы ряд таких программ был разработан. Многие иллюстрации данной книги были получены повторным использованием одной из них. Эта программа является частью системы SNARK77. (Название взято из книги Льюиса Кэрролла «Охота на Снарка».) Система программ SNARK77 имеет однородную структуру и позволяет построить алгоритм реконструкции и оценить его качество. Все алгоритмы реконструирования, которые рассмотрены в данной книге, и ряд других входят в указанную систему программ. В этой главе будет показано, каким образом система SNARK77 создает экспериментальные данные, используемые в последующем в алгоритмах реконструкции.

4.1. ИЗОБРАЖЕНИЯ И ИХ ДИСКРЕТИЗАЦИИ (МАТРИЦЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ)

Теперь полезно уточнить ряд понятий, которые потребуются в данной главе, а также в других главах книги.

Когда мы говорим об изображении, то предполагаем, что оно имеет две характеристики:

а) кадр изображения в виде квадрата с центром в начале системы координат;

б) функцию изображения как функцию двух переменных, равную нулю за пределами кадра.

Иногда, если это не приводит к путанице, функцию «б» называют изображением. Однако тождественные функции могут давать различные изображения, если кадры изображений различны. Значение функции изображения в точке часто называют плотностью в этой точке

Сетка из элементов делит кадр изображения на равных квадратиков, каждый из которых называют элементом изображения (элизом).

Дискретизированное изображение, или матрица изображения представляет собой изображение, значение которого постоянно внутри элиза -элементной сетки.

Матрица изображения размером есть -дискретизированное изображение, такое, что интеграл от исходной функции изображения по любому элизу, образованному сеткой из -элементов, равен интегралу от дискретизации по тому же элизу (рис. 1.1).

В реконструктивной томографии кадр изображения равен области реконструкции, а плотность изображения в любой произвольной точке равна относительному линейному ослаблению рентгеновского излучения определенной энергии в ткани в данной точке