3.2. ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Пучок рентгеновского излучения, который используется для РТ, состоит из фотонов различных энергий. Такое излучение называют полихроматичным. Так как ослабление в определенной точке пространства обычно больше у фотонов с меньшей энергией, спектр распределения энергии пучка рентгеновского излучения изменяется и становится более жестким по мере прохождения через объект. Пучки рентгеновского излучения, приходящие в определенную точку внутри тела по разным направлениям, имеют, очевидно, разный энергетический спектр излучения, так как они проходят через различные ткани, прежде чем попадут в эту точку, и поэтому будут по-разному ослаблены в данной точке. Этот факт создает трудность, когда используют только одну величину для описания коэффициента ослабления рентгеновского излучения в данной точке тела.

Возможный выход из положения состоит в том, чтобы приписать данной точке коэффициент ослабления фотонов для определенной энергии. Если бы использовался пучок излучения, состоящего из фотонов только одной энергии, т.е. излучение было монохроматическим, то пучки, приходящие из разных направлений, были бы ослаблены в данной точке в одинаковой степени. Реконструкция по таким коэффициентам ослабления представляет собой достаточно хорошо определенную задачу реконструктивной томографии.

В данном разделе обсудим математические соотношения, которые описывают

основные свойства полихроматических лучевых сумм, а также методы, используемые для оценивания соответствующих монохроматических лучевых сумм.

В частности, в разд. 16.6 утверждается, что полихроматическая лучевая сумма аппроксимируется интегралом вида

Приведем теперь более подробное объяснение использованных обозначений в выражении (3.10).

Пусть источник Испускает полихроматический пучок рентгеновского излучения с энергией фотонов в пределах Обозначим через те вероятность того, что какой-то фотон, зарегистрированный во время проведения калибровочных измерений, имеет энергию Здесь мы используем отчасти нестандартное обозначение, используя те для обозначения функции энергии при значении Эту функцию назовем детектируемым спектром в калибровочных измерениях.

Символы имеют тот же смысл, что и в гл. 2 (рис. 2.8). Величина является функцией двух переменных — энергии и расстояния и ее значения равны линейному коэффициенту ослабления излучения с энергией в точке на прямой при проведении рабочих измерений. С другой стороны, величина является функцией только одной переменной — энергии и ее значение равно линейному ослаблению эталонного материала а при энергии Таким образом, выражение является интегралом относительно линейного ослабления о при энергии вдоль прямой .

Отметим, в частности, что полихроматическая лучевая сумма зависит только от относительных линейных ослаблений при всех значениях энергии в пределах и от регистрируемого спектра излучения при калибровочных измерениях.

Тогда выражение (2.4) в этих обозначениях имеет вид

Напомним теперь, что числа Хаунсфилда кратны относительным линейным ослаблениям при определенной энергии их получают по оценкам монохроматических проекционных данных, которые сами вычисляются из полихроматических проекционных данных, получаемых экспериментально. Способ оценки монохроматических проекционных данных из полихроматических описан в остальной части этого раздела.

Начнем с теоретического рассмотрения одного частного случая. Пусть в

течение рабочих измерений в области реконструкции имеется только два вида вещества причем а — эталонный материал. Рассмотрим какое-то определенное положение пары источник — детектор и предположим, что полная длина прямой которая проходит через материал равна Из выражений (3.10) и (3.11) имеем

и

Комбинируя выражения (3.12) и (3.13), получим

Важным свойством выражения (3.14) является следующее: для всех значений энергии в пределах выполняется неравенство либо причем правая часть выражения (3.14) является монотонно возрастающей функцией от а те положительно для все значений Отсюда следует, что для любого данного значения имеется только одно значение при котором правая часть выражения (3.14) равна его левой части. На практике при корректировке по спектру используют табулированное значение левой части формулы (3.14) и находят то значение для которого правая часть совпадает с экспериментально измеренной полихроматической лучевой суммой

Выражение (3.14) получено при весьма существенных ограничениях, когда имелись только два вида материала в области реконструкции. В тех случаях, когда проводится исследование области головы пациента, окруженной водяной баней, это предположение до некоторой степени оправданно. Голова состоит из костной ткани и из веществ, которые по своим свойствам ослабления рентгеновского излучения не слишком отличаются от свойств водяной бани. Поэтому в данном случае выражение (3.14) можно использовать для введения поправки на изменение спектра рентгеновского излучения, однако в общем случае оно хуже подходит для данных целей, чем другие способы, которые будут рассмотрены ниже.

Несмотря на то что метод, основанный на выражении (3.14), не является достаточно точным и надежным из-за существенных ограничений, лежащих в его основе, общий подход, который используют здесь, является достаточно привлекательным, так как позволяет задать такую фукцию полихроматической лучевой суммы что если ее использовать для оценки монохроматической лучевой суммы то получим достаточно хорошие реконструкции относительных линейных ослаблений при фиксированном значении энергии

Естественными кандидатами для такой функции являются полиномы,

т.е. функции вида

где порядок полинома — фиксированное целое число, а фиксированные коэффициенты, которые требуется определить так, чтобы давала приемлемую для наших целей оценку . С точки зрения вычислений аппроксимация с помощью полиномов имеет два достоинства по сравнению, например, с аппроксимацией системой экспонент. Коэффициенты полинома достаточно легко вычислить, и, как только они получены, легко оценить также (см. (3.15)). При этом обычно достаточно использовать небольшое число например (разд. 5.4).

В некоторых случаях не существует единственной функции такой, чтобы замена на в выражении (2.5) приводила к приемлемому восстановлению. В таких случаях приходится либо использовать несколько корректирующих функций, заданных для определенных положений пар источник — детектор, либо коррекции проводить итерационно, беря в качестве скорректированной функции данной итерации ту, которая соответствует восстановленным данным предыдущей итерации (разд. 5.4).