10.3. ФУНКЦИЯ ИМПУЛЬСНОГО ОТКЛИКА

Поскольку процедура получения проекций и реконструкции изображений в расходящемся пучке при помощи сверточного алгоритма является линейной операцией (разд. 6.3), то оптимальным алгоритмом реконструкции будет считаться тот, который дает наиболее приемлемую реконструкцию исходного изображения, взятого в виде одиночной точки. К сожалению, из анализа формулы реконструкции следует, что этот процесс является пространственно-неинвариантным, т.е. существующая зависимость характеристик изображения от положения рассматриваемой точки изменяется при трансляции. Несмотря на то что форма распределения в реконструированном изображении точхи зависит от положения самой точки, ниже мы рассмотрим в качестве примера реконструкцию точечного объекта, помещенного в начало координат. При этом лучевая сумма для центрального луча в каждой проекции равна единице, а для остальных лучей — нулю.

Величину мы используем для обозначения функции импульсного отклика (в реконструированном изображении) в точке с координатами . Эта функция вычисляется при помощи подстановки исходных дискретных проекций в формулы (10.12) и (10.13).

На рис. 10.2 представлена изометрическая проекция функции импульсного отклика в реконструированном изображении при использовании обобщенного «окна» Хэмминга с Осцилляции функции отклика вблизи главного максимума столь малы, что едва различимы при данном способе отображения. (Более наглядное представление о ней дают графики рис. 10.3.)

В идеальном случае функция должна равняться нулю повсюду при однако на практике дело обстоит иначе. Нежелательный эффект состоит в том, что паразитные структуры в реконструированном изображении одиночной точки, имеющей достаточно большую интенсивность (рис. 10.2), могут маскировать реконструированное изображение другой точки с меньшей интенсивностью. Это обстоятельство побуждает нас рассматривать нормированную функцию импульсного отклика в реконструированном

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

изображении, определяемую соотношением

Дискретное одномерное представление этой функции имеет вид

Таблица 10.1. (см. скан) Критерии качества изображающей системы для функции обобщенного «окиа» Хэмминга при различных значениях

где шаг между отсчетами в изображении, в нашем случае равный 0,1504 см. Очевидно, что При было бы желательно, чтобы величина была возможно малой и при стремилась бы к нулю. На рис. 10.3 приведены графики для трех выбранных нами функций «окна».

В табл. 10.1 приведены значения критерия качества системы который определяется следующим образом (необходимо учитывать, что меньшие величины более желательны):

а) полуширина функции на полувысоте наименьшее положительное значение I, для которого справедливо соотношение

б) интенсивность первого бокового лепестка равна при наименьшем положительном целом значении I, для которого ;

в) интенсивность фона (на большом расстоянии от максимума), соответствующая интенсивности в последней ячейке по оси т.е. в нашем случае В (57).

Анализируя функцию импульсного отклика системы, сразу замечаем недостатки наших критериев качества системы в силу их несовместимости. Хотя первый показатель при выглядит предпочтительнее, чем при два других показателя (интенсивности первого всплеска и фона) ведут себя обратным образом, поэтому «оптимальность» той или иной функции «окна» зависит от выбора соответствующего критерия.

Развивая эту мысль, рассмотрим следующий способ оценки качества нормированной функции импульсного отклика. Большие значения интенсивности в непосредственной близости от самой точки считаются «приемлемыми», поскольку означают простое размытие изображения. По мере отдаления от точки большие значения интенсивности становятся все менее желательными, поскольку означают нечто большее, чем размытие или резкие колебания. Однако существенные значения на слишком большом отдалении от точки нельзя связать с точкой, как и те артефакты, которые, возможно, созданы деталями, не лежащими в плоскости исследуемого сечения, и поэтому этот эффект не может исказить медицинский диагноз. Семейство приемлемых функционалов качества системы для нормированной функции импульсного отклика можно определить следующим образом:

Как и в случае ранее введенных критериев качества, меньшим значениям у соответствует более высокое качество.

В табл. 10.1 приведены критерии качества для функций импульсного отклика при и трех различных величинах Из таблицы видно, что об оптимальности каждой из функций «окон» можно говорить при соответствующем выборе величины

К проблеме выбора функции «окна» можно подойти с совершенно разных позиций. Если задать нормированную функцию импульсного отклика, то можно получить соответствующую (или близкую) к ней функцию «окна». Однако из приведенного выше обсуждения недостатков критериев качества по функции импульсного отклика следует, что данный способ синтеза функции «окна» не гарантирует достижения высокого качества реконструированного изображения. При этом центр тяжести проблемы смещается с вопроса «какая функция «окна» обеспечивает высококачественную реконструкцию?» на вопрос «функция импульсного отклика какого вида обеспечивает высококачественную реконструкцию?» Поскольку наиболее эффективным методом, в рамках которого можно ответить на первый вопрос, является метод спектрального разложения (разд. 8.6), то становится не совсем ясным, какую пользу можно получить от подобной замены проблем.