10.4. РЕКОНСТРУКЦИЯ ШУМОВОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Помимо функции импульсного отклика, эффективность алгоритма реконструкции определяется способностью системы противостоять воздействию шума, содержащегося в исходных данных. Предположим, что проекции искажены аддитивным шумом. Благодаря линейности операции свертки

реконструированное изображение представляет собой сумму собственно изображения и реконструкции его шумовой составляющей. По этой причине ниже мы отдельно рассмотрим влияние алгоритма реконструкции на шумовые характеристики изображения.

Чтобы получить некоторое представление о соотношениях, связывающих шумовые характеристики реконструированного изображения с шумовыми характеристиками исходных данных, проведем исследование особенностей реконструкции на весьма простой, но не реализуемой в имеющихся приложениях модели шума, а именно предположим, что каждое измерение представляет собой независимую выборку одной и той же случайнойвеличины причем ее математическое ожидание (разд. 1.2). Таким образом, реконструированное значение интенсивности в точке с координатами определяемое соотношением (10.13), также является случайной величиной, которую мы обозначим через Легко показать, что другими словами, это означает, что если шумовая составляющая исходных данных имеет нулевое среднее значение, то и реконструированное значение шума в этой же точке также имеет нулевое среднее. Дисперсия случайной величины зависит от ряда параметров, таких, как дисперсия исходных данных вид сворачиваемых функций используемых на стадии реконструкции, вид интерполяционной функции используемой в формуле (10.13), число ракурсов шаг между отсчетами по углу X и положение точки Точная формула имеет вид

где

и

Для определения чувствительности алгоритма реконструкции к воздействию шумов требуются не оценки в отдельных точках изображения, а обобщенная мера влияния шумов. Один из способов получения подобной меры состоит в усреднении величины по ряду точек с координатами что и было сделано в ходе экспериментов по реконструкции шумовой компоненты по формулам (10.17) — (10.19) при использовании 49 значений на сетке из элементов с шагом 2,8576 см. Результаты экспериментов сведены в столбец табл. 10.1, обозначенный буквой Усредненное значение стандартного отклонения в реконструированном изображении равно [формула (10.17)].

С учетом анализа, проведенного в разд. 8.6, оказывается неудивительным, что функция «окна» с максимально подавленными высокочастотными

компонентами является наиболее устойчивой к воздействию шума.

Отметим, что, в то время как величина 5 показывает, каким образом различные функции «окна» способны подавлять шум при реконструкции отдельных точек, она тем не менее ничего не говорит о том, как скоррелирован шум в реконструированном изображении. Может, например, получиться так, что функция «окна» имеет малое значение параметра и тем не менее является неприемлемой, если исходные данные сильно зашумлены, поскольку при этом возникают структурированные шумы, т.е. шумы, которые особо влияют на реконструированное изображение в соседних точках, давая эффект, весьма сходный с эффектом возникновения ложных структур в относительно больших областях изображения.